Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №136

Просмотров 5 Комментарии 0

В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $30%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на $156060$ рублей?

Пусть $A$ рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за $t = 1,3$ и составим таблицу:

|-------------|------------------------|----------------------------|---------| |Н ом ер года |Д олг до начи сления % |Д олг посл е н ачислен ия % |Пл атеж | |1------------|A-----------------------|tA--------------------------|---x-----| |-------------|------------------------|----------------------------|---------| |2------------|tA-−-x------------------|t(tA-−-x)-------------------|---x-----| -3-------------t(tA--−-x)-−-x------------t(t(tA--−-x) −-x)----------------x-----|

Тогда после последнего платежа долг будет равен

At3 t(t(tA − x ) − x ) − x = 0 ⇔ t3A = x(t2 + t + 1) ⇒ x = -2-------- t + t + 1

По условию $3x − A = 156060$ , следовательно,

3 --3At----− A = 156060 ⇒ 3⋅2, 197A − 3, 99A = 156060 ⋅3,99 ⇒ A = 156060-⋅ 3990 = 60⋅3990 = 239400 t2 + t + 1 2601

из прошлых лет