Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №134

Просмотров 6 Комментарии 0

Основанием четырехугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD,$ причем $AB =3√2,$ $BC = 6.$ Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB.$

а) Докажите, что $P$ — середина отрезка $BQ.$

б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC,$ если $SD =9.$

а) Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD.$ Тогда $SO$ — высота пирамиды. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то $AO = BO = CO = DO.$ Следовательно, $△ AOS = △BOS = △COS = △DOS,$ откуда $AS = BS = CS = DS.$ Обозначим $AS = x.$

$PIC$

Рассмотрим грань $ASB.$ Проведем $SK ⊥ AB.$ Тогда $KB = 0,5AB = 1,5√2.$ Тогда

KB BP 9 -SB-= cos∠SBA = BA- ⇒ BP = x

Рассмотрим грань $CSB.$ Проведем $SH ⊥ CB.$ Тогда $HB = 0,5CB = 3.$ Тогда

HB--= cos∠SBC = BQ- ⇒ BQ = 18 SB BC x

Следовательно, $2BP = BQ.$ Что и требовалось доказать.

б) По условию $x = 9.$ В грани $CSB$ имеем $PH ∥ CQ,$ так как $PH$ — средняя линия в $△CQB.$ Следовательно, $PH ⊥ SB.$ Тогда по определению $∠AP H$ — линейный угол двугранного угла, образуемого гранями $SBC$ и $SBA.$ Найдем его по теореме косинусов из $△ APH.$