Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №132

Просмотров 6 Комментарии 0

В январе 2014 года процентная ставка по депозитам в банке составила $x%$ годовых, а в январе 2015 года — $y%$ годовых. Вкладчик положил на счет в этом банке в январе 2014 года некоторую сумму денег в рублях. В январе 2015 года, спустя год после открытия счета, он снял со счета пятую часть от той суммы, которую положил в 2014 году. Найдите значение $x,$ при котором сумма на счете в январе 2016 года будет наибольшей, если известно, что $x +y = 30.$

Пусть вкладчик положил на счет $A$ рублей. Тогда спустя год, то есть в 2015 году, на счете уже будет в рублях

(1+ 0,01x)A

Затем вкладчик снял со счета $1 5A,$ следовательно, на счете осталось в рублях

(1+ 0,01x)A − 1A 5

Тогда в январе 2016 года на счете будет сумма в рублях:

1 (1 +0,01y)((1+ 0,01x)A − 5A )= =(1+ 0,01y)(1+ 0,01x− 0,2)A

Выразим по условию $y = 30− x$ и рассмотрим функцию

f(x) =(1+ 0,01(30− x))(1+ 0,01x − 0,2)= 1 2 = 104 ⋅(−x +50x+ 130⋅80)

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине

−-50 x0 = −2 = 25

Таким образом, наибольшая сумма на счете в январе 2016 года будет при $x= 25.$

из прошлых лет