Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №131

Просмотров 6 Комментарии 0

Строительство нового завода стоит 76 млн. рублей. Затраты на производство $x$ тысяч единиц продукции на таком заводе равны $Z = 0,5x2 +3x +13$ млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $q$ тысяч рублей за единицу, то прибыль в млн. рублей за один год составит $qx− Z$ . Когда завод будет построен, планируется выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $q$ строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

Так как строительство завода должно окупиться не более, чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 76 млн. рублей. Следовательно,

2 2 4(qx− (0,5x +3x +13))≥ 76 ⇔ qx− 0,5x − 3x − 13 ≥19

$q$ принимает такие значения, при которых прибыль (значение выражения $qx− 0,5x2 − 3x − 13$ ) будет наибольшей. Следовательно, наибольшее значение выражения $qx− 0,5x2 − 3x − 13$ должно быть $≥ 19$ .
Функция $y = qx − 0,5x2− 3x− 13= −0,5x2+ (q− 3)x− 13$ является квадратичной, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в своей вершине, то есть в точке $−(q−-3)- x0 = 2⋅(−0,5) = q− 3$ . Значит,

−0,5(q− 3)2+ (q − 3)(q− 3) − 13 ≥19 ⇔ (q− 3)2 ≥ 64 ⇒ q ≥ 11.

Следовательно, наименьшее подходящее $q = 11$ .