Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №130

Дано трехзначное натуральное число (число не может начинаться с нуля).

а) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 20?

б) Может ли частное этого числа и суммы его цифр быть равным 81?

в) Какое наименьшее натуральное значение может иметь частное данного числа и суммы его цифр?

а) Пусть число $N = 100a+ 10b +c$ , где $a,b,c$ – число сотен, десятков и единиц соответственно, следовательно, они могут принимать целые значения от $0$ до $9$ (только $a$ не может быть равно $0$ ).

Предположим, что

N a+-b+-c = 20 ⇒ 10(8a− b) = 19c

Пусть $8a =b$ , откуда, так как $a,b$ – цифры, то $a = 1$ и $b= 8$ . Тогда $10(8a− b) = 0$ , следовательно, $19c= 0$ , откуда $c =0$ . Таким образом, получили число $180$ .
Проверкой убеждаемся, что действительно $180:(1+ 8+ 0)= 20$ .
Ответ: да.

б) Предположим, что

---N--- = 81 ⇒ N = 81(a+ b+ c) a +b +c

Следовательно, $N$ делится на $81$ , следовательно, его можно представить в виде $N = 81⋅k$ , где $k$ – некоторое натуральное число и $k = a +b +c$ . Заметим, что так как $N$ – трехзначное число, то $81⋅k ≤ 999$ , откуда $k ≤ 12$ .

Из того, что $N$ делится на $81$ , можно сделать вывод, что $N$ делится на $9$ . Следовательно, сумма его цифр должна делиться на $9$ . Но так как сумма его цифр равна $k$ , а $k ≤ 12$ , то $k = 9$ . Следовательно, $N = 9⋅81= 729$ . Но у числа $729$ сумма цифр не равна $9$ , следовательно, $729$ не подходит. Так как это был единственный возможной вариант, то ответ: нет.

в) Рассмотрим $N a+-b+-c$ .

Попробуем поискать наименьшее трехзначное число с наибольшей суммой цифр. Значит, в нем должно быть мало сотен и много десятков и единиц. Возьмем $198$ . Сумма его цифр равна $18$ и оно нацело делится на нее, в результате чего получаем $11$ .
Докажем, что $11$ – наименьшее натуральное частное от деления числа на сумму его цифр.

Предположим противное. Пусть частное от деления $N = 100a +10b+ c$ на $a+ b+ c$ равно $k$ , где $k ≤ 10$ – натуральное число. Тогда:

100a-+10b+-c-=k ⇔ (100− k)a+ (10 − k)b= (k− 1)c a+ b+ c

Так как число сотен не может быть равно нулю, то $a ≥ 1$ . Так как $k ≤ 10$ , то $100− k ≥90$ , следовательно, $(100 − k)a ≥90$ . Так как $b ≥0$ , то $(10− k)b≥ 0$ , следовательно, вся левая часть равенства $≥ 90$ .

Так как число единиц не может быть больше $9$ , то есть $c≤ 9$ , и $k− 1≤ 9$ , то $(k − 1)c≤ 9⋅9= 81$ .

Следовательно, в нашем равенстве левая часть $≥ 90$ , а правая $≤ 81$ . Следовательно, равенство не имеет решений.
Значит, предположение неверно и $11$ – наименьшее натуральное значение для частного трехзначного числа и суммы его цифр.