Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №128

Пусть $n$ — натуральное трёхзначное число, в десятичной записи которого нет нулей.

а) Приведите пример такого $n,$ что его отношение к произведению его цифр равно $109 18 .$

б) Может ли отношение $n$ к произведению его цифр быть равно $113? 18$

в) Какое наибольшее значение может принимать отношение $n$ к произведению его цифр, если это отношение равно несократимой дроби со знаменателем 18?

а) Покажем, что $n = 763$ подходит: произведение цифр $n$ равно $7⋅6⋅3,$ тогда отношение $n$ к произведению его цифр равно

763 109 109 7⋅6⋅3-= 6⋅3 =-18

б) Числа 113 и 18 взаимно просты, тогда для того, чтобы отношение $n$ к произведению его цифр было равно $113 -18-,$ необходимо, чтобы $n$ делилось на 113.

Таким образом, если какое-то $n$ подходит, то оно имеет вид $n = 113k$ , где $k ∈ {1,...,8},$ так как $113⋅9 =1017$ — уже не трёхзначное.

Перебором убеждаемся, что ни одно число из множества ${1,...,8}$ не подходит на роль $k$ , следовательно, отношение $n$ к произведению его цифр не может быть равно $113. 18$

в) Отношение $n$ к произведению его цифр при $n = 631$ равно $631 18 .$ Если при каком-то $n$ отношение окажется ещё больше, необходимо, чтобы произведение цифр $n$ было равно 18.

В самом деле, произведение цифр $n$ должно делиться на 18, поскольку отношение $n$ к произведению его цифр можно сократить до дроби вида $m- 18.$ При этом если $n< 1000,$ то даже при сокращении дроби в 2 раза числитель станет $n :2< 500.$ В предложенном выше примере в числителе находится $631 > 500, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2104-27.svg» width=»auto»> что даёт большее отношение, чем любое допустимое отношение, для которого произведение цифр <img decoding=$ не равно 18.

Пусть произведение цифр $n$ равно $18= 3⋅3⋅2.$ Тогда наибольшее значение, которое может принимать число сотен в $n$ , равно $3⋅3 = 9$ . Поскольку произведение цифр $n$ равно 18, в качестве двух других цифр возьмем 2 и 1. При этом всякое трёхзначное число, записанное полученными цифрами, делится на 3 и дробь $-n 18$ оказывается сократимой.

Наибольшее значение, которое может принимать отличное от 9 число сотен в $n,$ равно $3⋅2= 6.$ Тогда в качестве двух других цифр возьмем 3 и 1. Наибольшее такое $n$ и есть 631.