Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №127

Просмотров 5 Комментарии 0

Окружности радиусов 11 и 21 с центрами $O1$ и $O2$ соответственно касаются внешним образом в точке $C;$ $AO1$ и $BO2$ – параллельные радиусы этих окружностей, причем $∠AO1O2 = 60∘.$ Найдите $AB.$

Данная задача имеет два случая.

1) Проведем отрезки $AO1$ и $BO2$ так, чтобы точки $A$ и $B$ лежали по одну сторону от прямой $O1O2$ .

Проведем отрезки $AC$ и $BC$ .

$PIC$

Заметим, что $△AO1C$ равнобедренный с углом $60∘$ , следовательно, равносторонний и $AC = O1C = 11$ .
Так как $O1A∥ O2B$ , то $∘ ∠BO2O1 = 120$ . Так как $△BO2C$ равнобедренный, то $∘ ∘ ∘ ∠BCO2 = (180 − 120 ):2= 30$ . Следовательно, $∠ACB =180∘− ∠ACO1− ∠BCO2 = 180∘ − 60∘− 30∘ = 90∘$ , то есть $△ACB$ прямоугольный.
По теореме косинусов из $△BO2C$ найдем $BC =√212-+212−-2⋅212⋅cos120∘ = 21√3$ .

Следовательно, по теореме Пифагора

∘---2----2 ∘ -2----2-- AB = AC + BC = 11 + 21 ⋅3= 38.

2) Проведем отрезки $AO1$ и $BO2$ так, чтобы точки $A$ и $B$ лежали по разные стороны от прямой $O1O2$ .

$PIC$

Заметим, что в этом случае отрезок $AB$ пройдет через точку $C$ (точку касания окружностей).
Действительно, так как $△AO1C$ равнобедренный и угол при вершине равен $∘ 60$ , то он равносторонний, то есть $∘ ∠O1CA = 60$ . Следовательно, $∠ACO = 180∘ − 60∘ = 120∘ 2$ .
Аналогично $△CO2B$ равносторонний ( $∠CO2B = ∠CO1A = 60∘$ как накрест лежащие при $O1A∥ O2B$ и $O1O2$ секущей) и $∠O2CB = 60∘$ . Следовательно, $∠ACO2 + ∠O2CB = 120∘+ 60∘ = 180∘$ , то есть $∠ACB$ развернутый, значит, точки $A,C,B$ лежат на одной прямой.

Из доказанного следует, что $AC = AO =11 1$ , $CB = BO = 21 2$ , следовательно, $AB = 11+ 21 =32$ .