Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №125

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $2sin2x = 3√2-sin(π − x) +4. 2$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ 5π] π;-2 .$

а) По формуле приведения $sin( π− x)= cosx. 2$

Из основного тригонометрического тождества следует, что $sin2x = 1− cos2 x$ , следовательно, уравнение можно переписать в виде

2 − 2cos2 x= 3√2-cosx +4 ⇔ 2cos2x+ 3√2cosx+2 =0

С помощью замены $cosx =t$ данное уравнение сводится к квадратному

2t2+ 3√2t+ 2= 0,

корнями которого являются $√ - t= − 2$ и $√- t= − 22$ . Из того, что $t= cosx∈[−1;1]$ , следует, что корень $√ - t= − 2$ нам не подходит. Следовательно, решениями будут

√2 3π cosx = −-2- ⇔ x =± 4-+ 2πn,n ∈ℤ.

б) Отберем корни.

$π ≤ 3π+ 2πn≤ 5π ⇔ 1≤ n≤ 7 ⇒ n ∈∅ ⇒ x∈ ∅. 4 2 8 8$

$π ≤ − 3π+ 2πn≤ 5π ⇔ 7 ≤n ≤ 13- ⇒ n =1 ⇒ x= 5π. 4 2 8 8 4$