Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №124

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $8x− 3⋅4x− 2x+3 =0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[1,5;3].$

а) Сделаем замену $t=2x$ , тогда уравнение сведется к виду:

t3− 3t2− t+ 3= 0 ⇔ t2(t− 3)− (t− 3)= 0 ⇔ (t− 3)(t2− 1)= 0 ⇔ (t− 3)(t− 1)(t+ 1)=0

Решениями данного уравнения являются $t= −1; 1; 3$ . Сделаем обратную замену:

2x = −1 ⇔ x∈ ∅ так как показательная функция принимает только положит& 2x = 1 ⇔ x= 0 2x = 3 ⇔ 2x = 2log23 ⇔ x= log23

б) Отберем корни.

Очевидно, что $x= 0$ не входит в отрезок $[1,5;3]$ .

Неравенство $1,5≤ log23≤ 3$ равносильно $log221,5 ≤log23 ≤log223$ , что в свою очередь равносильно $21,5 ≤3 ≤23$ (так как основание логарифмов 2> 1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2029-10.svg» width=»auto»>). </p>
<p class=

Так как $21,5 = 21⋅20,5 = 2⋅√2< 2⋅1,5 =3$ , то неравенство $21,5 ≤ 3≤23$ является верным неравенством, следовательно, $x =log23$ входит в данный отрезок $[1,5;3].$