Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №123

Просмотров 5 Комментарии 0

а) Решите уравнение $√- (3π x) cosx+ 3sin 2 − 2 + 1= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[−4π;−2,5π].$

а) По формуле приведения $( 3π x) x sin 2 − 2 = − cos2$ . Сделаем замену $x t = 2$ , тогда уравнение примет вид

cos2t− √3 cost+ 1= 0

По формуле косинуса двойного угла $2 cos2t= 2cos t− 1$ , следовательно,

2 √ - √ - √3- 2cos t− 3cost= 0 ⇔ cost(2cost− 3) =0 ⇔ cost= 0 или cost= -2-.

Решениям данных уравнений являются

t= π+ πn и t= ±π + 2πm, n,m ∈ℤ. 2 6

Сделаем обратную замену и получим ответ:

π x = π+2πn и x =± 3 + 4πm, n,m ∈ ℤ.

б) Отберем корни.

$− 4π ≤π +2πn ≤−2,5π ⇔ − 5 ≤n ≤− 7 ⇒ n= −2 ⇒ x = −3π. 2 4$

$− 4π ≤ π+ 4πm≤ −2,5π ⇔ − 13≤ m ≤− 17 ⇒ m = −1 ⇒ x= − 11π. 3 12 24 3$

$π 11 13 − 4π ≤− 3 + 4πm ≤− 2,5π ⇔ −12 ≤m ≤ −24 ⇒ m ∈∅ ⇒ x∈ ∅.$