Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №122

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

(| (y2 − xy +3x − y − 6) √x+-2 { ---------√--------------= 0 |( 6− x x + y− a= 0

имеет ровно два различных решения.

Преобразуем выражение в скобках в числителе дроби:

y2− xy+ 3x− y− 6= 0 2 y − (x + 1)y +3x − 6 = 0

Дискриминант квадратного уравнения равен $D = (x− 5)2,$ тогда

y1 = x+-1+-x−-5-= x− 2 2 y = x+-1−-x+-5-= 3 2 2

Таким образом, всю систему можно записать в виде

( ⌊ ( ⌊ |||| ⌈y2− (x+ 1)y + 3x − 6= 0 |||| |y = x − 2 |||{ x +2 = 0 |||{ |⌈y = 3 ⇔ x =− 2 |||| 6− x> 0 |||| |||( x+ 2≥ 0 |||( −2≤ x <6 y = −x + a y = −x +a

Найдем значения параметра, при каждом из которых прямая $y = −x + a$ имеет две точки пересечения с графиком системы

( ||⌊ y = x− 2 |||{|| ⌈ y = 3 ||||| x= −2 (− 2≤ x< 6

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Зеленым цветом изображен график системы, синим и черным — возможные положения прямой $y = −x+ a.$

1) Заметим, что если прямая $y =− x+ a$ находится в положении (1), то есть проходит через точку $(6;4)$ пересечения прямых $y = x − 2$ и $x = 6$ или выше, то она имеет только одну точку пересечения с графиком системы.

Между положениями (1) и (2) и в положении (2), то есть если прямая $y = −x+ a$ проходит через точку $(6;3)$ пересечения прямых $y = 3$ и $x =6,$ то она имеет две точки пересечения с графиком системы. Найдем соответствующие значения параметра.

Положение (1): $a= 10.$

Положение (2): $a= 9.$

Следовательно, при $a∈ [9;10)$ имеем две точки пересечения.

2) Между положениями (2) и (3) — три точки пересечения, а вот в положении (3), то есть если прямая $y = −x+ a$ проходит через точку $(5;3)$ пересечения прямых $y =3$ и $y = x− 2$ — две точки.

Положение (3): $a= 8.$

3) Между положениями (3) и (4) — три точки пересечения, а вот в положении (4), то есть если прямая $y = −x+ a$ проходит через точку $(−2;3)$ пересечения прямых $y =3$ и $x= −2$ — две точки.

Положение (4): $a= 1.$

4) Между положениями (4) и (5) — две точки пересечения, а вот в положении (5), то если прямая $y = −x +a$ проходит через точку $(−2;−4)$ пересечения прямых $x =− 2$ и $y = x − 2$ — одна точка.

Положение (5): $a= − 6.$

Следовательно, при $a∈ (− 6;1)$ имеем две точки пересечения.

Тогда исходная система имеет ровно два различных решения при

a∈ (− 6;1]∪ {8} ∪[9;10)