Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №121

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

( 2 { xy-−√2xy-−-4y-+-8= 0 ( 4− y y = ax

имеет три различных решения.

Преобразуем систему:

(⌊ ( ( |||⌈y = 2 |{ xy(y− 2) − 4(y− 2)= 0 |{ (y − 2)(xy− 4)= 0 |{ y = 4 |( 4− y > 0 ⇔ |( y < 4 ⇔ ||y < 4x y = ax y = ax ||( y = ax

Таким образом, необходимо найти значения параметра, при каждом из которых прямая $y = ax$ пересекает график последней системы в трех точках.

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Из рисунка видно, что три общие точки будут тогда, когда прямая $y = ax$ находится между положениями (1) и (3), не включая их и положение (2). На рисунке положения (1), (2), (3) отмечены синим пунктиром, примеры подходящего положения прямой $y = ax$ серым цветом, а график системы зеленым.

1) Найдем значение параметра, соответствующее положению (1). Тогда прямая $y = ax$ проходит через точку $(1;4),$ следовательно, $a= 4.$

2) Найдем значение параметра, соответствующее положению (2). Тогда прямая $y = ax$ проходит через точку пересечения $4 y = x$ и $y = 2,$ то есть через $(2;2),$ следовательно, $a= 1.$

3) Найдем значение параметра, соответствующее положению (3). Тогда прямая $y =ax$ совпадает с осью $Ox$ , то есть с прямой $y = 0,$ следовательно, $a = 0.$

Таким образом, изначальная система имеет три различных решения при

a ∈ (0;1)∪(1;4)