Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №120

Просмотров 8 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

2 2 (log8(x+ a)− log8(x− a)) − 12a(log8(x +a) − log8(x− a))+ 35a − 6a− 9 =0

имеет два различных решения.

1) Сделаем замену: $t =log (x +a)− log (x− a) 8 8$ , тогда уравнение примет вид

2 2 t − 12at+ 35a − 6a− 9 =0

Дискриминант данного уравнения равен

2 D = 4(a +3) ≥ 0

Следовательно, уравнение всегда имеет два (быть может, совпадающих) корня

t1 = 12a-+2a-+6 = 7a+ 3 и t2 = 12a-− 2a-− 6-= 5a− 3. 2 2

2) Запишем ответ для $x$ в общем виде. Пусть $b$ – корень уравнения $t2− 12at +35a2− 6a− 9= 0$ . Тогда, сделав обратную замену, получаем

При коэффициент перед равен нулю, следовательно, уравнение системы примет вид: . Данное уравнение при будет иметь бесконечно много решений, при не будет иметь решений. Следовательно, сама система в каждом случае (после пересечения решения уравнения с ОДЗ Т.к. случай с бесконечным множеством решений нам не подходит (нам нужно два решения), то точно не равно нулю. Таким образом, мы видим, что при каждом фиксированном мы получаем либо одно решение для (если): либо ни одного решения для (если). Отсюда можно сделать вывод, что для того, чтобы исходное уравнение имело два решения, нужно, чтобы : а также, чтобы полученные корни для удовлетворяли ОДЗ 3) Найдем в общем виде условия, при которых корень удовлетворяет ОДЗ

4) Подставим наши корни $t1 =7a +3$ и $t2 =5a − 3$ вместо $b$ :

{ ⌊ a> 0 || 7a+ 3> 0 ( 3) ||{ ⇔ a ∈ −∞; −7 ∪ (0;+∞ ) ⌈ a< 0 7a+ 3< 0

и

⌊ { a >0 || 5a− 3> 0 (3 ) || { ⇔ a∈ (− ∞;0)∪ 5 ;+ ∞ . ⌈ a <0 5a− 3< 0

Пересекая данные решения между собой и с $3 3 a⁄= −3; −7; 5$ (найденные во 2-ом пункте), получим окончательный ответ

( ) ( ) a ∈(−∞; −3)∪ −3;− 3 ∪ 3;+ ∞ . 7 5

из прошлых лет