Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №12

Решите неравенство

           4             2       (x-+-4)3 log4(x + 5) ⋅ log16(x + 4) + log2  x + 5   − 3 > 0. » class=»math-display» src=»/images/math/quest/quest-458-1.svg» width=»auto»></div>
</p></div>
<p><button class=Показать ответ

ОДЗ:

( || (x + 5)4 > 0 |||        2 { (x + 4) >  0 | (x-+-4)3            ⇔      x ∈ (− ∞; − 5) ∪ (− 4;+ ∞ ). |||   x + 5  > 0 |( x + 5 ⁄= 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class=

                                        3 log  2(x + 5)4 ⋅ log 4(x + 4 )2 + log (x-+-4) − 3 > 0.    2             2              2  x + 5  » class=»math-display» width=»auto»></center> <span class=На ОДЗ неравенство равносильно:
log2|x + 5| ⋅ log2 |x + 4| + 3log2|x + 4| − log2 |x + 5 | − 3 > 0.  » class=»math-display» width=»auto»></center> Сгруппируем первое и второе слагаемые, а также третье и четвертое: </p>
<p class=

       (log2|x + 4| − 1 )(log2 |x + 5| + 3) > 0    ⇔ ⇔      (log |x + 4| − log 2)(log  |x + 5| + log  8) > 0     ⇔            2            2      2             2             |x +-4| ⇔       log2    2   ⋅ log2(8 ⋅ |x + 5 |) > 0. » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= Возможны 2 случая:
1)

(      |x + 4 | { log2 -------> 0 (        2   log2(8 ⋅ |x + 5 |) > 0 » class=»math-display» width=»auto»></center> </p>
<p class= В этом случае по методу рационализации: |x + 4| > 2, |x + 5| > 1                       8  » class=»math» width=»auto»>, откуда<br class=x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 2;+ ∞ )  .
2)

( {      |x-+-4-|   log2   2    < 0 ( log (8 ⋅ |x + 5 |) < 0      2

В этом случае по методу рационализации:                       1 |x + 4| < 2, |x + 5| <--                       8  , откуда
x ∈ (− 5,125;− 4,875 )  .
Объединенное решение неравенства: x ∈  (− ∞; − 6) ∪ (− 5, 125;− 4,875) ∪ (− 2;+ ∞ )  .
Пересечем ответ с ОДЗ: x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 5,125;− 5) ∪ (− 2;+ ∞ )  .
Окончательный ответ

x ∈ (− ∞; − 6) ∪ (− 5,125;− 5) ∪ (− 2; +∞ ).

Оцените статью
Я решу все!