Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №119

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a,$ при которых уравнение

( )2 ( ) x + -1--- − (a+ 9) x + -1--- +2a(9− a)= 0 x− a x− a

будет иметь четыре различных решения.

1) Сделаем замену: $x + -1-= t x−a$ . Полученное уравнение

2 t − (a+ 9)t+ 2a(9− a)= 0

по теореме Виета имеет два (может быть, совпадающих) корня

t1 =9 − a и t2 = 2a.

Заметим, что для того, чтобы исходное уравнение имело четыре решения, необходимо, чтобы полученное уравнение относительно $t$ имело два различных решения. Следовательно,

9− a⁄= 2a ⇔ a⁄= 3

2) Сделаем обратную замену:

⌊ ( [ |x+ x-1− a-= 2a |{ x2− 9x− a2+ 9a+ 1= 0 || ⇔ x2− 3ax+ 2a2+ 1= 0 ⌈ --1-- |( x⁄= a x+ x − a = 9− a

Следовательно, каждое из двух полученных квадратных уравнений должно иметь два различных корня, не равные $a$ , причем все четыре этих корня должны быть различны.