Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №118

Просмотров 7 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых уравнение

(tgx + 6)2 − (a2 + 2a + 8)(tgx + 6) + a2(2a + 8) = 0

имеет ровно два различных решения на отрезке $[ ] 3π- 0; 2$ .

Заметим, что $tgx$ – периодическая функция с периодом $π$ . Таким образом, если данное уравнение будет иметь решение на $[ ) 0; π2$ , то оно также будет иметь еще одно решение на $[ ) π; 3π2$ (в точках $π , 3π 2 2$ тангенс не определен). А вот решения из промежутка $(π;π ) 2$ не дублируются на отрезке $[ ] 0; 3π 2$ .
Таким образом, данное уравнение будет иметь два решения на отрезке $[ ] 3-π 0; 2$ в одном из двух случаев:

1) Если оно будет иметь ровно одно, причем неотрицательное, решение относительно $tgx$ .

2) Если оно будет иметь ровно два различных, причем отрицательных, решения относительно $tgx$ .

Рассмотрим первый случай.

Введем обозначение $tgx + 6 = t$ . Тогда $t ≥ 6$ . Получим уравнение:

t2 − (a2 + 2a + 8)t + a2(2a + 8) = 0

Заметим, что по теореме Виета корнями данного уравнения будут:

2 t1 = 2a + 8 и t2 = a

Для того, чтобы уравнение имело ровно один корень, причем $t ≥ 6$ , нужно:

{ t1 = t2 t1 ≥ 6 ⇒ a = 4.

Рассмотрим второй случай.

Т.к. в этом случае $tgx < 0 ⇒ t < 6$ .
Также остается:

2 t1 = 2a + 8 и t2 = a

Для того, чтобы уравнение имело два корня, причем оба были меньше $6$ , нужно:

( |{ t1 ⁄= t2 { √-- t < 6 ⇒ − 6 < a < − 1 |( 1 a ⁄= − 2 t2 < 6

Таким образом, окончательный ответ в задаче:

√-- a ∈ (− 6; − 2 ) ∪ (− 2;− 1 ) ∪ {4}.

из прошлых лет