Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №117

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

|3sinx + a2 − 22| + |7 sin x + a + 12| ≤ 11 sin x + |a2 + a − 20| + 11

выполнено для всех значений $x$ .

Сделаем замену: $sin x + 1 = t$ , следовательно, $t ∈ [0;2]$ . Тогда неравенство примет вид:

|3t + a2 − 25| + |7t + a + 5| ≤ 11t + |a2 + a − 20|

Заметим, что при раскрытии модулей в левой части (на соответствующем промежутке) коэффициент перед $t$ (в левой части) будет равен либо $7 + 3 = 10$ , либо $7 − 3 = 4$ , либо $3 − 7 = − 4$ , либо $− 3 − 7 = − 10$ . В любом случае при переносе данного слагаемого в правую часть и приведении подобных слагаемых коэффициент перед $t$ (в правой части) будет положительным.
Например, если модули раскроются оба положительными (то есть $2 3t > − a + 25, 7t > − a − 5 » class=»math» width=»auto»>), то неравенство для таких <img decoding=$ примет вид:

2 2 2 2 2 2 3t+a − 25+7t+a+5 ≤ 11t+ |a +a − 20 | ⇔ 0 ≤ t+ |a +a − 20 |− a − a+20 ⇔ t+ |a +a − 20|− a − a+20 ≥ 0

Следовательно, справа получается возрастающая линейная функция.

Таким образом, можно сделать вывод, что как бы ни раскрылись модули, функция $2 2 y(t) = 11t + |a + a − 20| − |3t + a − 25| − |7t + a + 5|$ всегда будет монотонно возрастающей.
Поэтому если рассмотреть неравенство в виде

y (t) = 11t + |a2 + a − 20 | − |3t + a2 − 25| − |7t + a + 5| ≥ 0,

то для того, чтобы неравенство при всех $t ∈ [0;2]$ выполнялось, достаточно, чтобы график возрастающей функции $y(t)$ был выше оси $Ox$ . Следовательно, значение $y(0)$ (в левой точке отрезка $[0;2]$ ) должно быть неотрицательным:

11 ⋅ 0 + |a2 + a − 20| − |3 ⋅ 0 + a2 − 25| − |7 ⋅ 0 + a + 5| ≥ 0 ⇔ |a2 + a − 20| ≥ |a2 − 25 | + |a + 5|

Заметим, что $a2 − 25 + a + 5 = a2 + a − 20$ . Следовательно, данное неравенство имеет вид: $|A + B | ≥ |A | + |B |$ . Как известно, при всех $A$ и $B$ выполняется неравенство: $|A + B | ≤ |A | + |B |$ . Следовательно, наше неравенство выполняется тогда и только тогда, когда

|A + B | = |A| + |B |

Для того, чтобы модуль суммы был равен сумме модулей двух чисел $A$ и $B$ , хотя бы одно из них должно быть равно нулю либо они должны быть одного знака, следовательно, данное равенство равносильно

2 2 AB ≥ 0 ⇒ (a − 25 )(a + 5) ≥ 0 ⇒ (a + 5) (a − 5) ≥ 0 ⇒ a ∈ {− 5} ∪ [5; +∞ ).