Найдите все значения параметра 
, при которых уравнение
имеет ровно два различных решения.
1) Сделаем замену 
. Тогда уравнение примет вид
Получили квадратное уравнение. Для того, чтобы изначальное уравнение относительно 
имело решения, полученное уравнение относительно 
должно иметь решения, то есть его дискриминант должен быть неотрицательным. Найдем дискриминант:
Таким образом, дискриминант для любого 
будет неотрицательным. Имеем корни:
2) Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности
Оба уравнения в данной совокупности имеют вид
Здесь 
— некоторое выражение, зависящее от 
Исследуем такое уравнение.
График функции 
представляет собой корыто, ветви которого имеют наклон 
а дно находится на высоте 
(числа 
и 
могут поменяться местами)
Следовательно, при 
имеет два решения, при 
имеет бесконечно много решений при 
и одно решение при 
при 
не имеет решений. Следовательно, если 
и 
— разные прямые, то необходимо
Если же прямые 
и 
совпадают, то 
следовательно, 
Тогда имеем:
прямые 
и 
находятся ниже дна корыта и исходное уравнение не имеет корней.
Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных решения при
