В треугольнике 
проведена биссектриса 
Прямая, проходящая через вершину 
перпендикулярно 
пересекает сторону 
в точке 
При этом 
а) Докажите, что биссектриса угла 
делит отрезок 
пополам.
б) Пусть 
— точка пересечения биссектрис треугольника 
Найдите отношение 
а) Если доказать, что 
то в 
биссектриса 
также является медианой, то есть 
Заметим, что 
равнобедренный, так как 
— прямая, содержащая биссектрису и высоту, следовательно, 
Тогда получаем 
Так как биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то имеем:
Также известно, что 
следовательно, из двух полученных уравнений находим 
Таким образом, мы доказали, что 
и в равнобедренном 
биссектриса 
делит сторону 
пополам.
б) Заметим, что из доказанного в пункте а) следует, что 
Тогда в 
отрезок 
— медиана и высота, следовательно, этот треугольник равнобедренный и 
Таким образом, можно найти отношение 
В 
отрезок 
является биссектрисой, следовательно, он делит сторону 
на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть
