Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №112

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона основания $AB$ равна 6, а боковое ребро $AA1$ равно $2√2.$ На ребрах $AB,$ $A1B1$ и $B1C1$ отмечены токи $M,$ $N$ и $K$ соответственно, причем $AM = B1N = C1K = 2.$

а) Пусть $L$ — точка пересечения плоскости $(MNK )$ с ребром $AC.$ Докажите, что $MNKL$ — квадрат.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью $(MNK ).$

а) Рассмотрим четырехугольник $MNKL$ . Т.к. плоскости основания параллельны, то линии пересечения этих плоскостей с плоскостью $MNK$ тоже параллельны, то есть $NK ∥ ML$ .
Заметим, что если совместить наложением равные равносторонние треугольники $ABC$ и $A1B1C1$ так, чтобы точка $B1$ наложилась на $A$ , точка $N$ на $M$ , то точка $K$ наложится на $L$ (из-за параллельности $NK$ и $ML$ ).
Следовательно, $△AML = △B1NK$ . Следовательно, $ML =NK$ . Таким образом, по признаку $MNKL$ – параллелограмм.

$PIC$

Как следствие, $AL = B1K = 4$ .

По теореме косинусов из $△AML$ найдем

√- ML2 = 22 +42− 2⋅2 ⋅4⋅cos60∘ = 12 ⇒ ML = 2 3.

Заметим, что $AL2 = AM2 + ML2$ ( $42 =22 +(2√3)2$ ), следовательно, по обратной теореме Пифагора $∠AML = 90∘$ .

Таким образом, $ML ⊥ AB$ и $ML ⊥ BB1$ , следовательно, $ML ⊥ (ABB1 )$ , следовательно, $ML ⊥ MN$ .
Таким образом, $∠NML = 90∘$ и $MNKL$ – параллелограмм, у которого один угол прямой, следовательно, все углы прямые, следовательно, это прямоугольник.
Для того, чтобы доказать, что это квадрат, достаточно доказать равенство двух смежных сторон. Поэтому покажем, что $ML = MN$ .
Рассмотрим грань $ABB1A1$ и проведем в ней $NN1 ⊥ AB$ , чтобы найти $MN$ .

$PIC$

Тогда $N1B = NB1 = 2$ , следовательно, $MN1 = 6− 2− 2= 2$ . Тогда из прямоугольного $△MNN1$ имеем:

∘ -----√---- √ - MN = 22+ (2 2)2 = 2 3.

Таким образом, $MN = ML$ , чтд.
б) Построим сечение призмы плоскостью $MNK$ . Для этого необходимо найти отрезки, по которым она пересекает грани $BB1C1C$ и $ACC1A1$ .
Пусть $O$ – точка пересечения прямых $ML$ и $BC$ . Тогда $O$ лежит в грани $BCC1B1$ . Следовательно, соединив точки $O$ и $K$ , получим точку пересечения плоскости с ребром $CC1$ – точку $P$ . Тогда $MNKP L$ – искомое сечение.

$PIC$