Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №111

Просмотров 7 Комментарии 0

Основанием прямой четырехугольной призмы $ABCDA1B1C1D1$ является квадрат $ABCD$ со стороной $3√2,$ высота призмы равна $2√7.$ Точка $K$ — середина ребра $BB1.$ Через точки $K$ и $C1$ проведена плоскость $α,$ параллельная прямой $BD1.$

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью $α$ является равнобедренным треугольником.

б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью $α.$

а) Прямая параллельна плоскости, если плоскость содержит прямую, параллельную данной. Поэтому проведем в плоскости $BB1D1,$ содержащей $BD1,$ прямую $KO ∥ BD1.$

Пусть $O$ — точка пересечения с отрезком $B1D1.$ Так как $KO ∥BD1,$ то по теореме Фалеса

B1O B1K OD1- = KB--= 1

$PIC$

Следовательно, $O$ — середина $B1D1.$ Так как $A1B1C1D1$ — квадрат, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, следовательно, $A C 1 1$ содержит $O.$

Таким образом, треугольник $A1KC1$ — искомое сечение. Из равенства боковых граней следует, что отрезки $KC1$ и $KA1$ равны, то есть треугольник $A1KC1$ равнобедренный.