В прямоугольном треугольнике 
с прямым углом 
точки 
и 
— середины катетов 
и 
соответственно, 
— высота.
а) Докажите, что прямые 
и 
перпендикулярны.
б) Пусть 
— точка пересечения прямых 
и 
а 
— точка пересечения прямых 
и 
Найдите площадь треугольника 
если 
и 
а) В прямоугольном треугольнике длина медианы, проведённой к гипотенузе, равна половине длины гипотенузы. В прямоугольном треугольнике 
отрезок 
— медиана, проведённая к гипотенузе, тогда 
Аналогично в треугольнике 
имеем 
Таким образом, треугольники 
и 
равны по трём сторонам, откуда
б) Так как в прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведённой к гипотенузе, равен произведению отрезков гипотенузы, то
По теореме Пифагора в треугольнике 
имеем:
Отсюда 
следовательно, 
По теореме косинусов в треугольнике 
имеем:
Отсюда 
Так как 
— гипотенуза в прямоугольном треугольнике 
то
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
Так как 
то 
и
Отсюда 
и искомая площадь равна
