Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №109

а) — как радиусы. Так как трапеция равнобедренная, то

следовательно, Так как — равнобедренная трапеция, то значит, тогда

В итоге стороны и четырёхугольника равны и параллельны, следовательно, — параллелограмм.

б) Способ 1

Пусть — точка касания окружности со стороной а — точка пересечения продолжения боковых сторон и трапеции

Рассмотрим треугольник В нём так как трапеция — равнобедренная. Значит, по сумме углов треугольника

Рассмотрим треугольник В нём а так как радиус перпендикулярен касательной к которой проведён. Таким образом, — прямоугольный треугольник с углом в

Значит, катет в два раза меньше гипотенузы Заметим, что как радиусы, следовательно,

С другой стороны, и а значит

Рассмотрим треугольники и Они подобны по двум углам, так как Запишем их отношение подобия:

Способ 2

Пусть – проекция точки на тогда

следовательно, точки и совпадают и

Пусть радиус данной окружности равен тогда из треугольника

Пусть — точка касания данной окружности и тогда Так как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, то

Таким образом, прямоугольные треугольники и подобны по острому углу, следовательно,

Найдём при помощи формулы тангенса половинного угла:

Тогда

откуда ,

тогда откуда следовательно,