Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №107

Просмотров 6 Комментарии 0

В трапеции $ABCD$ точка $E$ — середина основания $AD,$ точка $M$ — середина боковой стороны $AB.$ Отрезки $CE$ и $DM$ пересекаются в точке $O.$

а) Докажите, что площади четырехугольника $AMOE$ и треугольника $COD$ равны.

б) Найдите, какую часть от площади трапеции $ABCD$ составляет площадь четырехугольника $AMOE,$ если $BC = 3,$ $AD =4.$

а) Пусть $CH1 = h$ — высота треугольника $ECD.$ Так как $M$ — середина $AB,$ то $h- MH2 = 2$ — высота треугольника $AMD.$ Тогда имеем:

SAMD = 1AD ⋅MH2 = 1⋅ h-⋅2ED = SECD 2 2 2

Следовательно,

SAMOE = SAMD − SOED = SECD − SOED =SCOD

Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Далее имеем:

S = 3-+4 ⋅h= 7h ABCD 2 2 SAMD = 1⋅4 ⋅ h= h 2 2 SAMOE = SAMD − SOED

Выразим $SOED$ через $h.$

Проведем среднюю линию трапеции $MK,$ $MK ∩ CE = N.$ Тогда $△MON ∼ △EOD.$

Отрезок $MK = 3,5$ как средняя линия трапеции, отрезок $NK = 1$ как средняя линия $△CED.$ Отсюда $MN = 2,5.$

Проведем из вершины $O$ высоты в $△MON$ и $△EOD$ и обозначим их за $x$ и $y$ соответственно. При этом заметим, что $x +y = h. 2$

Так как $△MON ∼ △EOD,$ то

x MN 2,5 5 4 h y = ED--= -2-= 4 ⇒ y = 9 ⋅2

Таким образом,

S = 1 ⋅ 2h⋅2 = 2h ⇒ S = 7h- OED 2 9 9 AMOE 9

Значит, искомое отношение площадей равно

SAMOE-= 7h-: 7h = 2 SABCD 9 2 9