На доске написаны числа 1, 2, 3,…, 30. За один ход разрешается стереть три числа, сумма которых меньше 35 и отлична от каждой из сумм троек чисел, стёртых на предыдущих ходах.
а) Приведите пример 5 ходов.
б) Можно ли сделать 10 ходов?
в) Какое наибольшее число ходов можно сделать?
а) Приведем один из возможных вариантов:
б) Сделать 10 ходов — значит стереть все числа на доске. Покажем, что все числа стереть нельзя.
Если число 30 будет стёрто, то обязательно в одной тройке с числом 1 и одним из чисел 2 или 3. Тогда если будет стёрто и число 29, то обязательно в одной тройке с оставшимся после первого хода числом 2 или 3.
Но третьим числом в тройке должно быть число не меньше 4, а это значит, что сумма чисел в тройке с числом 29 слишком велика:
Это противоречит условию.
в) Пусть можно стереть 
троек, тогда сумма всех чисел этих 
троек должна не превосходить
Так как нужно стереть 
чисел, то наименьшая возможная сумма всех чисел 
троек равна
Тогда получаем неравенство
Последнее равносильно 
откуда с учётом 
получаем 
Тогда стереть больше 6 троек нельзя. Пример для 6 троек:
