На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 363. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры, например, число 17 заменили на число 71.
а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в 4 раза больше, чем сумма исходных чисел.
б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в 2 раза больше, чем сумма исходных чисел?
в) Найдите наибольшее возможное значение суммы получившихся чисел.
Пусть 
ое выписанное число имеет вид 
где 
Для суммы 
по всем значениям индекса 
таким, что слагаемое 
есть этой в сумме, используем обозначение 
Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид
Обозначим 
тогда 
После смены мест цифр 
ое полученное число имеет вид 
Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид
а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна 
что равносильно 
Рассмотрим систему
Вычитая из второго уравнения первое, находим, что 
откуда 
Подставляя это в первое уравнение системы, находим 
тогда 
Попробуем брать в качестве 
9, пока их сумма не превосходит 143 — так можно положить
то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить
б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна 
что равносильно 
Рассмотрим систему
Вычитая из второго уравнения первое, находим, что 
но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.
в) Пусть сумма полученных чисел равна 
что равносильно системе
Вычитая из второго уравнения первое, находим, что 
откуда 
Подставляя это в первое уравнение системы, находим 
Отсюда в частности следует, что 
Тогда 
для некоторого целого неотрицательного 
и 
Покажем, что 
В самом деле, если бы было 
тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем 20, так как 
но тогда
то 
то есть 
При 
получим 
Аналогично примеру из пункта а) построим решение.
Попробуем брать в качестве 
9, пока их сумма не превосходит 163 — так можно положить
то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить
Тогда искомая сумма 
, максимальная 