Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №101

В правильной треугольной призме $ABCA1B1C1$ сторона основания $AB$ равна 12, а боковое ребро $AA1$ равно 6. На ребре $B1C1$ отмечена точка $L$ так, что $B1L = 2.$ Точки $K,$ $M$ — середины ребер $AB$ и $A1C1$ соответственно. Плоскость $α$ параллельна прямой $AC$ и содержит точки $K$ и $L.$

а) Докажите, что прямая $BM$ перпендикулярна плоскости $α.$

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка $M,$ а основание — сечение данной призмы плоскостью $α.$

а)

$PIC$

Построим сечение пирамиды плоскостью $α.$ Т.к. плоскость $α$ параллельна прямой $AC$ , то она будет пересекать основания призмы по прямым, параллельным прямой $AC$ . Следовательно, прямая пересечения плоскости $α$ с плоскостью $A1B1C1$ – прямая $LP ∥ A1C1 ∥ AC$ , прямая пересечения плоскости $α$ с плоскостью $ABC$ – прямая $KN ∥AC$ . Таким образом, сечение призмы плоскостью $α$ – равнобокая трапеция $KNLP$ .
Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым из этой плоскости.
Проведем $MH ⊥ABC ⇒$ по теореме о трех перпендикулярах $BM$ (наклонная) $⊥ KN$ , т.к. $BH$ (проекция) $⊥KN$ .

$PIC$

$BM$ пересекает плоскость $α$ на прямой $TZ$ , где $T,Z$ – середины $KN$ и $PL$ соответственно. Докажем, что $BM ⊥ TZ$ . Для этого покажем, что $∠OT B = ∠HMB$ .
Рассмотрим сечение $MHBB1$ . $BH$ – высота правильного треугольника $ABC$ со стороной 12, следовательно, $√- √ - √ - BH = 12-3-= 6 3=⇒ BT = 3 3. 2$ $B1Z$ – высота правильного треугольника $B1LP$ со стороной 2, следовательно, $2√3- √ - √- B1Z = -2--= 3=⇒ T Z′ = 2 3$ .
Таким образом, $tg ∠OTB = -√6-= √3-= BH--= tg∠HMB 2 3 MH$ .
Следовательно, $△ OTB$ подобен $△ MHB$ по двум углам $∘ =⇒ ∠TOB = ∠MHB = 90$ .
Таким образом, $BM ⊥ KN$ и $BM ⊥ OT =⇒ BM ⊥ α$ .
б) Найдем $MO$ – высоту пирамиды $MKNLP$ .
Так как $√- tg∠OT B = 3$ , то $√ - ∠OT B = 60∘ =⇒ --3= sin ∠OTB = OB- =⇒ OB = 9 2 BT 2$
Аналогично, $√3- BH 15 -2-= MB--=⇒ MB = 12 =⇒ MO = MB − OB = -2$ .
Найдем высоту $ZT$ трапеции $KNLP$ .
Из прямоугольного $△ZZ ′T$ по теореме Пифагора $∘ ---------- ZT = 62+ (2√3 )2 = 4√3-$
Кроме того, $1 1 KN = 2AC =6, LP = 6A1C1 = 2$ . Значит:

VMKNLP = MO--⋅ KN-+-LP ⋅ZT = 1⋅ 15-⋅ 6+-2 ⋅4√3-= 40√3 3 2 3 2 2