Задача к ЕГЭ на тему «из прошлых лет» №10

Просмотров 5 Комментарии 0

Решите неравенство

( ) log1 51+lgx− -11+lgx ≥ −1 +lgx 2 2

Выпишем ОДЗ:

( ||{ x> 0 21+lgx ⁄= 0 ||( 51+lgx− -11+lgx > 0 2 » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-456-1.svg» width=»auto»></div> <p class= Рассмотрим отдельно неравенство

1+lgx 1 5 > 21+lgx » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-456-2.svg» width=»auto»></div> <p class= Так как при x> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-456-3.svg» width=»auto»> выполнено <img alt= 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-456-4.svg» width=»auto»> то домножим обе части неравенства на это выражение:

101+lgx > 1 ⇔ 1 +lgx >0 ⇔ x∈ (0,1;+∞ ) » class=»math-display» src=»/images/math/answer/answer-456-5.svg» width=»auto»></div> <p class= В итоге найдем ОДЗ:

x ∈ (0,1;+∞ )

Преобразуем исходное неравенство:

51+lgx⋅21+lgx− 1 log12 ----21+lgx------≥lgx− 1 101+lgx − 1 log12--21+lgx-- ≥ lgx − 1

По формуле логарифма частного, верной на ОДЗ:

log1(101+lgx− 1)− log121+lgx− lgx+ 1≥ 0 2 1+lgx 2 1+lgx log12(10 − 1)− log2−1 2 − lgx +1 ≥ 0 log12(101+lgx− 1)+1 +lgx− lgx+ 1≥ 0 ( )2 log12(101+lgx− 1)+log12 1 ≥ 0 ( ) 2 log1 (101+lgx− 1)⋅ 1 ≥ 0 2 4

Последнее неравенство на ОДЗ равносильно:

1 (101+lgx− 1)⋅4 ≤1 ⇔ 101+lgx ≤ 5 101⋅10lgx ≤5 ⇔ x≤ 0,5

Пересечем это множество с ОДЗ и получим окончательно

x∈ (0,1;0,5]
из прошлых лет
Оцените статью
Я решу все!
© 2025 Я решу все!