Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики» №6

Найдите наименьшее значение параметра $a$ , при котором уравнение

∘ ------------------- ∘ -------------------- (x + 8 )2 + (x + 2)2 + (x + 14)2 + (x + 3 )2 = 13a

имеет хотя бы один корень.

1 способ.

Рассмотрим $∘ ------------------- ∘ -------------------- f(x) = (x + 8)2 + (x + 2)2 + (x + 14)2 + (x + 3)2$ .
Тогда уравнение примет вид $f (x) = 13a$ . Тогда нам нужно найти наименьшее значение $a$ , при котором прямая $y = 13a$ будет пересекать график $y = f(x)$ хотя бы в одной точке. Исследуем $f (x)$ . Для этого найдем сначала ее производную:

′ -2∘(x-+-8)-+-2(x-+-2)-- -2∘(x-+-14-) +-2(x-+-3)- f (x ) = 2 (x + 8)2 + (x + 2)2 + 2 (x + 14)2 + (x + 3)2 = 2x + 10 2x + 17 = ∘--------------------+ ∘--------------------- (x + 8)2 + (x + 2)2 (x + 14)2 + (x + 3)2

Найдем нули производной:

2x + 10 2x + 17 ∘--------2---------2-+ ∘----------2---------2-= 0 ⇔ (x + 8) + (x + 2) (x + 14) + (x + 3) ∘ -------------------- (x + 14)2 + (x + 3 )2 2x + 17 -------2----------2-= − -------- ⇔ (x + 8) + (x + 2) 2x + 10 (| (x + 14)2 + (x + 3)2 ( 2x + 17)2 |{ -------2----------2-= -------- (∗) (x + 8 ) + (x + 2) 2x + 10 ⇔ ||( 2x-+-17- 2x + 10 ≤ 0 { 2 85x + 598x + 424 = 0 ⇔ x ∈ [− 8,5;− 5) 106 x = − ---- 17

Определим знаки производной:

$PIC$
Следовательно, схематично график функции выглядит так:

$PIC$
Следовательно, наименьшее значение параметра $a$ – когда прямая $y = 13a$ проходит через точку экстремума функции $f(x)$ :

( ) 106- 13a = f − 17 ⇔ 13a = 13 ⇔ a = 1

2 способ.

Заметим, что в первом способе было очень много вычислений и на самом деле нам повезло, что при решении уравнения $(∗)$ слагаемые с $x4$ и $x3$ взаимно уничтожились и мы пришли к квадратному уравнению. А что делать, если числа так хорошо не подобраны и мы не получим в конечном итоге “красивое” уравнение, которое сможем решить?
Давайте рассмотрим второй способ решения подобных уравнений.

Рассмотрим три точки: $A (x;x)$ , $B (− 8;− 2)$ , $C (− 14;− 3)$ . Тогда уравнение примет вид

AB + AC = 13a

Если нам нужно найти наименьшее значение параметра $a$ , при котором уравнение имеет хотя бы одно решение, то нам нужно найти точку $A$ , при которой сумма длин отрезков $AB$ и $AC$ будет наименьшей.
Где располагается точка $A$ ? Эта точка “бегает” по прямой $y = x$ . Графически это выглядит так:

$PIC$
Здесь мы будем использовать классическую идею планиметрии. Отразим симметрично точку $B$ относительно прямой $y = x$ (то есть проведем $′ BB ⊥ y = x$ , где $′ BH = HB$ :

$PIC$
Тогда $AB + AC = AB ′ + AC$ . Заметим, что по правилу треугольника, если точка $A$ не лежит на отрезке $B ′C$ , то $AB ′ + AC > B ′C » class=»math» width=»auto»>. Следовательно, наименьшая сумма длин <img decoding=$ будет достигаться тогда, когда $A ∈ B ′C$ .

$PIC$
Таким образом, мы идейно поняли, где должна находиться точка $A$ . Теперь осталось найти ее координаты.

1) Найдем координаты точки $′ B$ .
Для этого сначала найдем уравнение прямой $′ BB$ . Так как $′ BB ⊥ y = x$ , то если уравнение прямой $BB ′$ имеет вид $y = kx + b$ , то $k ⋅ 1 = − 1$ (произведение угловых коэффициентов двух взаимно перпендикулярных прямых равно $− 1$ ). Следовательно, $y = − x + b$ .
Для того, чтобы найти число $b$ , нужно подставить координаты точки $B$ в уравнение прямой:

− 2 = − 1 ⋅ (− 8) + b ⇔ b = − 10

Следовательно, уравнение прямой имеет вид $y = − x − 10$ .
Найдем координаты точки $H$ – это точка пересечения прямых $y = x$ и $y = − x − 10$ :

{ y = x ⇔ x = y = − 5 ⇒ H (− 5; − 5) y = − x − 10

$H$ – середина отрезка $′ BB$ . Значит, если координаты точки $′ B$ равны $(x0;y0)$ , то

( ||{ − 5 = − 8-+-x0 { 2 ⇔ x0 = − 2 || − 2 + y0 y0 = − 8 ( − 5 = -------- 2

Таким образом, $B ′(− 2;− 8)$ .

2) Найдем уравнение прямой $B ′C$ . Если уравнение этой прямой в общем виде выглядит как $y = mx + n$ , то

( 5 { ||{ m = − --- − 8 = − 2m + n ⇔ 12 − 3 = − 14m + n || 53- ( n = − 6

Следовательно, $y = − 512x − 536$ . Теперь можно найти координаты точки $A$ – это точка пересечения прямых $y = x$ и $B′C$ :

( { y = x ⇔ x = y = − 106- ( y = − 5-x − 53 17 12 6

3) Теперь можно найти значение параметра $a$ .

13a = AB ′ + AC = 13 ⇒ a = 1

Чем хорош этот способ? Во-первых, он более изящный. Во-вторых, в ходе решения мы сталкивались только с линейными уравнениями, которые решать намного проще.