Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ x2 + |x2 − 2x | = y2 + |y2 − 2y| x + y = a

имеет более двух решений.

Изобразим график первого уравнения. Для этого рассмотрим случаи:

1) $x2 − 2x ≥ 0$ , $y2 − 2y ≥ 0$ . Тогда уравнение примет вид

[y = x x2+ x2 − 2x = y2 + y2− 2y ⇔ x2 − y2− (x− y ) = 0 ⇔ (x− y)(x + y− 1) = 0 ⇔ y = 1 − x

Тогда в этом случае получаем такой график:
$PIC$

2) $x2 − 2x ≤ 0$ , $y2 − 2y ≤ 0$ . Тогда:

x2 + 2x − x2 = y2 + 2y − y2 ⇔ y = x

Значит, график для первых двух случаев будет выглядеть уже так:
$PIC$

3) $x2 − 2x ≥ 0$ , $y2 − 2y ≤ 0$ . Тогда уравнение примет вид:

x2 + x2 − 2x = y2 − y2 + 2y ⇔ y = x2 − x

Следовательно, добавится еще:
$PIC$

4) $x2 − 2x ≤ 0$ , $y2 − 2y ≥ 0$ . Тогда имеем:

x = y2 − y

Графиком будет являться такая же парабола, как и в п.3, только с поменявшимися осями:
$PIC$

Графиком $x + y = a$ при каждом фиксированном $a$ является прямая $y = − x + a$ , то есть прямая, параллельная $y = − x$ (а также параллельная части прямой $y = 1 − x$ из п. 1).
Для того, чтобы система имела более двух решений, нужно, чтобы прямая $y = − x + a$ находилась в положениях от (1) (не включительно) до (2) (включительно):
$PIC$
Действительно, когда прямая находится в положении (2), то система будет иметь бесконечное множество решений (а именно, часть прямой $y = 1 − x$ при $x ∈ (− ∞; − 1] ∪ [2;+ ∞ )$ , а также точка $(0,5;0,5)$ ); когда прямая находится между (1) и (2), то система будет иметь 3 решения; когда прямая находится в положении (1), то система будет иметь одно решение: $x = 0,y = 0$ .
Прямая $y = − x + a$ находится в положении (1) при $a = 0$ , в положении (2) – при $a = 1$ , следовательно,

a ∈ (0; 1]