Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ |x2 − 1 | + 2x − x2 = |y2 − 1| + 2y − y2 x + y = a

имеет более двух решений.

Изобразим график первого уравнения. Для этого рассмотрим следующие случаи:

1) $x2 − 1 ≥ 0$ , $y2 − 1 ≥ 0$ . Тогда уравнение примет вид

2 2 2 2 x − 1 + 2x − x = y − 1 + 2y − y ⇔ x = y

Следовательно, в части плоскости, задающейся условиями $|x| ≥ 1$ , $|y| ≥ 1$ , графиком будет часть прямой $y = x$ :
$PIC$

2) $x2 − 1 ≤ 0$ , $y2 − 1 ≥ 0$ . Тогда уравнение примет вид:

1 − x2 + 2x − x2 = y2 − 1 + 2y − y2 ⇔ y = − x2 + x + 1

Следовательно, в части плоскости, задающейся условиями $|x | ≤ 1,|y| ≥ 1$ , графиком будет часть параболы $y = − x2 + x + 1$ :
$PIC$

3) $2 x − 1 ≤ 0$ , $2 y − 1 ≤ 0$ :

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1− x +2x − x = 1− y +2y − y ⇔ 1− 2y+y − x = 1− 2x+x − y ⇔ (1− y) − x = (1− x )− y ⇔

[ y = 1 − x ⇔ (1− y− x)(1− y+x ) = (1− x − y)(1 − x+y ) ⇔ (1− y− x)(1− y+x − 1+x − y) = 0 ⇔ y = x

Следовательно, добавится еще такой кусок графика:
$PIC$

4) $x2 − 1 ≥ 0$ , $y2 − 1 ≤ 0$ . Тогда имеем

2 x = − y + y + 1

Графиком будет та же парабола, что и в п. 2, если поменять оси местами. Таким образом, окончательный график первого уравнения будет выглядеть так:
$PIC$

Графиком $x + y = a$ при каждом фиксированном $a$ является прямая $y = − x + a$ , то есть прямая, параллельная $y = − x$ (а также параллельная части прямой $y = 1 − x$ из п. 3).
Для того, чтобы система имела более двух решений, нужно, чтобы прямая $y = − x + a$ находилась в положениях от (1) (включительно) до (2) (не включительно):
$PIC$
Действительно, когда прямая находится в положении (1), то система будет иметь бесконечное множество решений (а именно, часть прямой $y = 1 − x$ при $x ∈ [0;1]$ ); когда прямая находится между (1) и (2), то система будет иметь 3 решения; когда прямая находится в положении (2), то система будет иметь одно решение: $x = 1,y = 1$ .
Прямая $y = − x + a$ находится в положении (1) при $a = 1$ , в положении (2) – при $a = 2$ , следовательно,

a ∈ [1;2)