Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ ∘ ------------- ∘ ------------- √ -- (x − a)2 + y2 + x2 + (y + a)2 = |a 2| 2 2 x + y ≤ 18

будет иметь единственное решение.

1) Первое уравнение системы при $a ⁄= 0$ задает отрезок $BC$ , где $B(a;0 )$ , $C (0;− a)$ .
Действительно, пусть $A (x;y)$ . Тогда

∘ ------------- BA = (x − a)2 + y2 ∘ ------------- AC = x2 + (y + a)2 BC = ∘ (a-−-0)2 +-(0-+-a-)2-= |a√2-|

Таким образом, первое уравнение можно записать в виде

BA + AC = BC

То есть данное уравнение задает множество точек $A$ , лежащих на отрезке $BC$ .
При $a = 0$ данное уравнение задает единственную точку $O(0;0 )$ .

2) Второе неравенство задает круг с центром в точке $O (0;0)$ и радиусом $√-- R = 3 2$ .

3) Для того, чтобы данная система имела единственное решение при $a ⁄= 0$ , нужно, чтобы отрезок касался круга: при $a > 0 » class=»math» width=»auto»> отрезок <img decoding=$ будет находиться в четвертой четверти (рисунок 1), при $a < 0$ – во второй (рисунок 2).
Случай, когда $a = 0$ , нам также подходит (так как точка $O$ принадлежит кругу).

$PIC$

При $a > 0 » class=»math» width=»auto»>: <img decoding=$ – радиус, проведенный в точку касания. Тогда

1- 1- √ -- √ -- 2 ⋅ OB ⋅ OC = S△OBC = 2 ⋅ OK ⋅ BC ⇒ a ⋅ a = 3 2 ⋅ a 2 ⇒ a = 6.

При $a < 0$ : $BO = CO = |a| = − a$ . Тогда

1 1 √ -- √ -- --⋅ OB ⋅ OC = S△OBC = --⋅ OK ⋅ BC ⇒ − a ⋅ (− a) = 3 2 ⋅ (− a 2) ⇒ a = − 6. 2 2