Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ ∘ ------------- ∘ ------------- √ ------ (x + 2)2 + y2 + x2 + (y − a)2 = 4 + a2 2 5y = |6 − a |

имеет единственное решение.

Рассмотрим второе уравнение системы: оно задает семейство прямых $y = 0,2|6 − a2 |$ , параллельных оси $Ox$ и лежащих в верхней полуплоскости (включая ось $Ox$ ) при любом значении параметра $a$ (т.к. модуль всегда неотрицателен).

Рассмотрим первое уравнение. Пусть $A(x;y )$ , $B (− 2;0)$ , $C(0;a )$ – точки. Тогда $∘ -------2----2 BA = (x + 2) + y$ , $∘ ------------- AC = x2 + (y − a)2$ , $√ ------ BC = 4 + a2$ .
Таким образом, первое уравнение системы выглядит так: $BA + AC = BC$ . Значит, оно задает геометрическое место точек $A$ , лежащих на отрезке $BC$ .

Для того, чтобы данная система имела единственное решение, прямая $2 y = 0,2 |6 − a |$ должна пересекать отрезок $BC$ в одной точке.

1) Пусть $a < 0$ , то есть точка $C$ лежит на отрицательной части оси $Oy$ . Единственный случай, когда прямая $2 y = 0,2 |6 − a |$ будет иметь с отрезком одну общую точку, – когда прямая $2 y = 0, 2|6 − a |$ будет проходить через точку $B$ , то есть совпадать с осью абсцисс. Отсюда $0,2|6 − a2| = 0$ , следовательно, $√ -- a = ± 6$ . Так как $a < 0$ , то $√ -- a = − 6$ .

$PIC$

2) Пусть $a = 0$ . Тогда отрезок $BC$ лежит на оси абсцисс, прямая $y = 0, 2|6 − a2|$ – в верхней полуплоскости, и общих точек у них нет.

3) Пусть $a > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда <img decoding=$ лежит на положительном направлении оси ординат.

$PIC$

Прямая $2 y = 0,2|6 − a |$ пересекает ось ординат в точке $D$ . Для того, чтобы прямая пересекала отрезок $BC$ , нужно, чтобы точка $C$ находилась не ниже точки $D$ , то есть

a ≥ 0,2|6 − a2|

Решим данное неравенство. Т.к. $a > 0 » class=»math» width=»auto»>, то имеем: </p> <p> <center class=$ $|6 − a2| ≤ 5a ⇔ − 5a ≤ 6 − a2 ≤ 5a ⇔ 1 ≤ a ≤ 6.$