Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Отрезок, ромб, квадрат и другие нестандартные графики» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых система

{ ∘ ----------------------- ∘ ----------------- x2 + 2x + y2 − 6y + 10 + x2 − 6x + y2 + 9 = 5 xy = 1 + ay

имеет ровно 2 решения.

Рассмотрим первое уравнение системы. Перепишем его в виде:

∘ ------------------- ∘ ------------- (x + 1)2 + (y − 3 )2 + (x − 3)2 + y2 = 5

Пусть $A (x;y)$ , $B (− 1;3 )$ , $C (3;0)$ – точки. Тогда

∘ -------2----------2 BA = (x + 1) + (y − 3) ∘ ------------- AC = (x − 3)2 + y2 ∘ -------------------- BC = (− 1 − 3)2 + (3 − 0 )2 = 5

Следовательно, первое уравнение равносильно:

BA + AC = BC

Значит, $A$ – точка, принадлежащая отрезку $BC$ . То есть уравнение задает множество точек отрезка $BC$ .

Рассмотрим второе уравнение. Заметим, что $x ⁄= a$ , так как в этом случае уравнение принимает вид $0 = 1$ , что не является верным равенством. Тогда можно переписать уравнение в виде:

---1-- y = x − a

Графиком данной функции при каждом фиксированном $a$ является гипербола (сдвинутая на $|a|$ единиц влево/вправо, если $a < 0$ / $a > 0 » class=»math» width=»auto»>). </p> <p class=$

Заметим, что отрезок $BC$ находится в верхней полуплоскости, следовательно, только правая ветка гиперболы может его пересекать.
Найдем значения $a$ , при которых гипербола проходит через точку $B$ .

$PIC$

Тогда

1 4 3 = ------- ⇔ a = − -. − 1 − a 3

Найдем значения $a$ , при которых гипербола касается отрезка $BC$ в точке $K (x0;y0)$ .

$PIC$

Для этого нужно написать уравнение прямой, проходящей через точки $B,C$ . Пусть $y = kx + b$ – уравнение этой прямой. Тогда

( { || 3- 3 = − k + b { k = − 4 3- 9- ⇔ | 9 ⇒ y = − 4 x + 4 0 = 3k + b |( b = -- 4

Производная функции, задающей гиперболу, равна

y′ = −----1--- (x − a)2

Тогда условие касания задается

( ( | 1 3 | -2-- |{ − (x--−-a-)2 = − 4- |{ x0 = 3 − √ -- 0 ⇔ 3 ||( --1----= − 3x + 9- ||( a = 3 − √4-- x0 − a 4 0 4 3

Следовательно, при

[ 4 4 ) a ∈ − -;3 − √--- 3 3

гипербола будет иметь с отрезком $BC$ равно две точки пересечения.