Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Окружность» №6

Просмотров 28 Комментарии 0

При каких значениях параметра $a$ касаются графики, задаваемые уравнениями

2 2 x + (y− a) = 4 и y = x?

Первому уравнению соответствует семейство окружностей с центрами на оси ординат, так как координаты центра $(0;a),$ и радиусом, равным 2. Второе уравнение задает прямую. Построим графики.

$PIC$

Сначала рассмотрим случай, когда $a> 0, » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5787-3.svg» width=»auto»> то есть центр окружности лежит в верхней полуплоскости. Чтобы окружность с центром <img decoding=$ и радиусом 2 касалась прямой, расстояние от центра до этой прямой должны быть равно 2. Выразим через $a$ расстояние от центра окружности до прямой, а затем приравняем его к 2, чтобы найти подходящие $a.$

$PIC$

Опустим перпендикуляр $OH$ на прямую $y = x,$ начало координат обозначим через $A.$ Мы знаем, что прямая $y = x$ образует угол $∘ 45$ с осью абсцисс, следовательно, угол $HAO$ также равен $∘ 45 .$ Тогда треугольник $OHA$ — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой $OA = a,$ значит, его катет равен $a OH = √2-.$ Приравняем эту величину к радиусу и найдем $a :$

- √a-= 2 ⇔ a = 2√2 2

Для отрицательного $a,$ то есть когда центр окружности лежит в нижней полуплоскости, картинка будет симметричной, а значит, $√ - a= −2 2$ нам тоже подойдет. Тогда окончательно имеем:

√- √- a∈ {−2 2;2 2}

$PIC$