Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Окружность» №5

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ 2 2 (x − a) + y = 1 ( y = |x − 3|+ 12

имеет ровно одно решение.

Рассмотрим первое уравнение. Оно задает окружность в системе координат $xOy$ с центром в точке $O (a;0)$ и радиусом 1. Другими словами, это семейство окружностей с радиусом 1 и центром в произвольной точке прямой $y = 0$ (то есть оси абсцисс).

Второе уравнение задает «уголок» модуля с ветвями вверх и вершиной в точке $( ) 3; 1 . 2$ Левая ветвь содержится в прямой $y = − x+ 3,5,$ правая — в прямой $y = x− 2,5.$

Построим графики.

$PIC$

Заметим, что если окружность с центром в точке $(a0;0), a0 ≤ 3$ нам подходит (то есть имеет ровно одну точку пересечения с уголком), то и окружность, симметричная ей относительно прямой $x= 3$ (эта прямая — ось симметрии уголка) с центром в точке $(3+ 3− a0;0)= (6− a0;0)$ нам тоже подойдет. Более того, очевидно, что никакие другие окружности не подойдут. Осталось понять, при каких $a0 ≤ 3$ (то есть центр не правее оси симметрии) окружность имеет ровно одну точку пересечения с левой веткой уголка. Часть решения ниже, выделенная курсивом, нужна исключительно для неформального понимания задачи, на экзамене так писать не следует.

Представим нашу ситуацию следующим образом. У нас есть окружность фиксированного радиуса, центр которой «скользит» по оси абсцисс. Давайте двигать окружность из $− ∞$ вправо до тех пор, пока она не «упрется» в уголок (или, другими словами, пока не соприкоснется с уголком). В этот момент окружность либо будет касаться (прямая будет касательной к окружности) левой ветки уголка, либо «упираться» в точку — вершину уголка (при этом прямая не будет являться касательной к окружности!).

$PIC$ $PIC$

Во втором случае момент касания с прямой происходит раньше, чем момент касания с уголком (и только при движении дальше вправо мы упираемся в вершину уголка), так как касание происходит в точке, принадлежащей продолжению прямой (пунктирная часть).

Найдем положение касания с окружности с прямой $f(x) = −x+ 3,5,$ содержащей левую ветвь уголка. Если точка касания окружности и прямой будет лежать левее вершины уголка (т.е. координата точки касания по оси $Ox$ не больше, чем 3) — реализовалась первая ситуация, в противном случае реализовалась вторая.

Радиус окружности равен единице, значит, в моменте касания центр окружности лежит на расстоянии 1 от прямой $f.$ Построим прямую $g$ левее $f,$ параллельную $f,$ на расстоянии 1 от $f.$ Искомое положение окружности возникает, когда центр окружности попадает в точку $O 1$ пересечения прямой $g$ и оси абсцисс, по которой движется центр.

$PIC$

Пусть $M (3,5;0)$ — точка пересечения $f$ с осью абсцисс, $K1$ — точка касания окружности и прямой $f.$ $O1K1 ⊥ f$ и равен расстоянию между прямыми — это 1 по построению. $∠K1MO1 = ∠MO1K1,$ так как коэффициент при $x$ равен $− 1.$ Тогда в полученном равнобедренном прямоугольном треугольнике $√- O1M = 2$ и координата по $x$ точки $O1$ равна $√ - 3,5 − 2,$ а координата по $x$ точки касания равна $√- 3,5 − 22.$ Легко проверить, что это меньше, чем 3 — координата по $x$ вершины уголка и оси симметрии, значит, реализована первая ситуация (касание с левой веткой). Итого нам подходит $√- a= 3,5− 2,$ которому соответствует положение $O1$ центра, а также $√ - a = 2+ 2,5,$ которому соответствует симметричное относительно оси положение центра — $O2.$

Таким образом, $a ∈{3,5− √2;√2-+ 2,5}$

$PIC$