Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Окружность» №4

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система уравнений

({ 2 2 (x − 4) + (y − 4) = 9 (y = |x − a|+ 1

имеет три различных решения.

Первое уравнение — это окружность с центром $O = (4;4)$ и радиусом 3, второе — это график функции $y = |x|,$ сдвинутый на 1 вверх и на $a$ вдоль оси $Ox.$ Иначе говоря, это график функции $y =|x|,$ вершина которого может находиться в произвольной точке на прямой $y = 1$ в зависимости от $a.$

$PIC$

Пусть положения графика модуля пронумерованы слева направо от 1 до 3. Тогда видно, что левее положения 1 точек пересечения с окружностью не может быть больше двух. В положении 1 их ровно три, между положениями 1 и 2 их четыре, в положении 2 — три точки, между положениями 2 и 3 — четыре точки, в положении 3 — три точки, правее положения 3 — меньше трех точек. То есть нам подходят только изображенные три положения графика модуля. Очевидно, что положению 2 соответствует $a= 4,$ а положения 1 и 3 симметричны относительно прямой $x = 4.$ Найдем положения 1 и 3.

Первый способ (расстояние от точки до прямой).

Левая ветвь 1 уголка описывается условиями $y = −x+ a +1, x≤ a.$ Касание этой прямой с окружностью эквивалентно тому, что расстояние он центра $O$ до прямой равно радиусу окружности. Расстояние от точки $(x0,y0)$ до прямой $a1x+ b1y+ c1 = 0$ описывается формулой

ρ= |a1x0∘+-b1y0+-c1| a21+ b21

В нашем случае расстояние от точки $O$ до прямой $x+ y− a− 1= 0$ равно 3:

$pict$

Нам подходит только значение, которое меньше 4, так как положение 1 левее положения 2. Положение 3 находим из симметрии. Получаем ответ

√- √- a= 7− 3 2; 4; 1+ 3 2

Второй способ (геометрический).

Прямая, содержащая отрезок $KA,$ параллельна прямой $y =− x,$ а прямая $AL ∥Ox,$ отсюда $∠LAK = 135∘.$

Далее, так как радиусы $KO = OL = 3$ перпендикулярны касательным, то имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠KOL = 360 − 2⋅90 − 135 = 45

По теореме косинусов для $△ KOL :$

KL2 = OK2 + OL2− 2OK ⋅OL cos∠KOL

По теореме косинусов для $△ KAL :$

KL2 = AK2 + AL2− 2AK ⋅AL cos∠KAL

$PIC$

Приравняем правые части и решим уравнение:

$pict$

Нам подходит только положительное значение, тогда первому положению соответствует $a= 4− x =7 − 3√2,$ третьему положению соответствует $√ - a= 4+ x =1 +3 2.$