Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Окружность» №3

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

( |{ (|x| − 3 )2 + (|y| − 2)2 = 1 |( y = ax + 1 xy < 0

имеет ровно два решения.

Рассмотрим первое уравнение системы. Оно задает 4 окружности. Действительно, пусть $x > 0,y > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда уравнение примет вид <img decoding=$ – это окружность с центром в точке $O1 (3;2)$ и $r = 1$ .
Если $x < 0,y > 0 » class=»math» width=»auto»>, то уравнение примет вид <img decoding=$ – и это уравнение окружности с центром $O2 (− 3;2)$ и $r = 1$ . И т.д.
Таким образом, получаем:

$PIC$
Рассмотрим третье неравенство системы $xy < 0$ . Следовательно, либо $x > 0,y < 0$ , либо $x < 0, y > 0 » class=»math» width=»auto»>. Таким образом, учитывая это неравенство, остаются только две окружности: в <img decoding=$ и $II$ четвертях. Уравнение $y = ax + 1$ задает прямую, у которой неизвестен угловой коэффициент, и которая проходит через точку $(0;1)$ :

$PIC$
Какие у нас могут быть случаи пересечения прямой с этими окружностями так, чтобы в итоге было ровно две точки пересечения?
а) прямая пересекает одну окружность, а вторую – нет;
б) прямая касается обеих окружностей.
Заметим, что так как окружности расположены симметрично относительно начала координат, то для того, чтобы прямая могла одновременно касаться обеих окружностей, она должна проходить через начало координат (то есть она тоже должна быть симметрична относительно начала координат). Наша прямая через начало координат не проходит. Следовательно, она не может касаться обеих окружностей сразу. Значит, случай б) невозможен. Остается только случай а).
Таким образом, нам нужно для начала рассмотреть все ситуации, когда прямая будет касаться какой-то из окружностей.

$PIC$
$(1)$ и $(2)$ – случаи, когда прямая касается второй окружности (будем ее так называть, потому что у нее центр в $O2$ ); $(3)$ и $(4)$ – случаи, когда прямая касается четвертой окружности.
Заметим, что эти случаи по возрастанию параметра $a$ можно упорядочить так: $(4) → (1) → (3) → (2)$ .
Таким образом, нам нужны будут значения параметра, принадлежащие $(a ;a ) 4 1$ и $(a ;a ) 3 2$ (здесь $ai$ – значения параметра $a$ , которое соответствует расположению прямой в случае $(i)$ ).
Значит, найдем $a1,a2,a3,a4$ .
Найдем значения $a$ , когда прямая $y = ax + 1$ касается второй окружности:

{ (x + 3 )2 + (y − 2)2 = 1 ⇒ (a2 + 1)x2 + 2(3 − a)x + 9 = 0 y = ax + 1

Так как прямая и окружность касаются, то есть имеют одну точку пересечения, то полученное уравнение должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю:

3 D = 0 ⇒ a = − -; 0 4

Значит, $a2 = 0;a1 = − 3 4$ .
Аналогично найдем, что $−-9+√17 a3 = 8$ , $−9−-√17 a4 = 8$ .
Следовательно, ответ:

( √ --- ) ( √ --- ) − 9-−--17- 3- −-9-+---17 a ∈ 8 ;− 4 ∪ 8 ;0