Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Окружность» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

{ (x − 2a + 3)2 + (y − a)2 = 2,25 2 2 2 (x + 3 ) + (y − a) = a + 2a + 1

имеет единственное решение.

Оба уравнения системы при $a ⁄= − 1$ задают окружности: первое уравнение – окружность с центром в точке $O(2a − 3; a)$ и радиуса $R1 = 1,5$ ; второе – окружность с центром в точке $Q(− 3;a)$ и радиуса $R1 = |a + 1 |$ .
При $a = − 1$ второе уравнение задает точку $A (− 3; − 1)$ , которая не является решением первого уравнения. Следовательно, при $a = − 1$ система не имеет решений, значит, $a = − 1$ – не подходит.

Рассмотрим случай, когда $a ⁄= − 1$ .
Система будет иметь единственное решение, когда окружности будут касаться друг друга (внутренним или внешним образом). Заметим, что центры обеих окружностей находятся на прямой $y = a$ . То есть линия центров окружностей параллельна оси абсцисс.

1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке $K$ . Это одна из двух картинок:

$PIC$

Заметим, что, с одной стороны, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов: $OQ = |a + 1| + 1,5$ , а с другой стороны, равно $| − 3 − (2a − 3)| = 2|a|$ . Получаем уравнение:

⌊ { a < − 1 || | { − 2a = − a − 1 + 1,5 || − 1 < a < 0 5 5 |a + 1 | + 1,5 = 2|a| ⇔ || ⇔ a = − --; -- | − 2a = a + 1 + 1, 5 6 2 || { ⌈ a ≥ 0 2a = a + 1 + 1,5

2) Пусть окружности касаются внутренним образом в точке $K$ . Это также одна из двух картинок (а также симметричные картинки, то есть когда точка касания находится слева):

$PIC$

В этих случаях длина отрезка $OQ$ , с одной стороны, равна $| − 3 − (2a − 3)| = 2|a|$ , а с другой стороны, она равна разности радиусов: $|1,5 − |a + 1||$ (ставим модуль, потому что неизвестно, какой радиус больше, то есть как окружность с центром $O$ может быть вписана в окружность с центром $Q$ , так и наоборот). Получаем уравнение:

[ 2a = |a + 1| − 1,5 1 1 2|a| = |1,5 − |a + 1|| ⇔ ⇔ a = − -; -- 2a = 1,5 − |a + 1| 2 6

Таким образом, окончательный ответ:

{ } 5- 1-1- 5- a ∈ − 6;− 2;6 ;2