Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Окружность» №1

Найдите все значения $a,$ при каждом из которых система уравнений

{ ( 2 2 ) x x + y − 2y− 8 = |x|⋅(2y− 8) y =x + a

имеет ровно три решения.

1) Изобразим график первого уравнения.

а) При x> 0 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-960-1.svg» width=»auto»> уравнение принимает вид: </p>
<div class= $x(x2+ y2− 2y − 8) = x(2y− 8) 2 2 x +(y− 2) = 4$

Мы получили уравнение окружности (назовем ее $s$ ) с центром в точке $(0;2)$ и радиусом 2.

б) При $x= 0$ уравнение принимает вид:

0⋅(0+ y2− 2y− 8)= 0⋅(2y− 8) 0= 0

Таким образом, мы получили верное равенство. Следовательно, мы получили множество точек, абсцисса $x$ которых равна нулю.

в) При $x< 0$ уравнение принимает вид:

x(x2+ y2− 2y− 8)= −x(2y− 8) 2 2 x + y = 16

Мы получили уравнение окружности (назовем ее $S$ ) с центром в точке $(0;0)$ и радиусом 4.

2) Уравнение $y =x + a$ задает множество прямых, параллельных прямой $y = x.$ То есть это прямые, угол наклона которых к положительному направлению оси $Ox$ равен $45∘.$

Таким образом, получаем следующую картинку, на которой голубым цветом изображен график первого уравнения:

$PIC$

3) Для того, чтобы система имела 3 решения, нужно, чтобы при некотором фиксированном $a$ прямая $y = x+ a$ пересекала «голубой график» ровно в трех точках.

Таким образом, нам подходят следующие случаи:

– когда прямая $y = x +a$ находится между положениями $I$ и $II$ (не включая эти случаи). Случай $I$ — касание прямой $y = x+ a$ и окружности $S.$ Случай $II$ — прохождение прямой $y = x+ a$ через точку пересечения окружности $S$ и прямой $x= 0;$

– когда прямая $y = x +a$ находится между положениями $II$ и $III$ (не включая $II$ и включая $III$ ). Случай $III$ — прохождение прямой $y = x+ a$ через точку пересечения окружности $s$ и прямой $x= 0;$

– когда прямая $y = x +a$ находится в положении $IV$ — касается окружности $s.$

Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

Между $I$ и $II.$

Найдем значение $a,$ при котором прямая $y = x+ a$ находится в положении $I.$ В этом случае a > 0. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-960-46.svg» width=»auto»> </p>
<div class=

$PIC$

Пусть $A (0;a),$ $B(−a;0)$ — точки пересечения прямой $y =x + a$ с осями координат, $K$ — точка касания. Тогда $OK ⊥ AB$ как радиус, проведенный в точку касания. Длина $OA = a,$ $OB = a,$ $OK = 4,$ $△ AOB$ прямоугольный. Тогда $AB = a√2$ и получаем

Найдем значение $a,$ при котором прямая $y = x+ a$ находится в положении $II.$ В этом случае она проходит через точку $(0;4),$ следовательно,

Таким образом, нам подходят значения $a∈ (4;4√2-).$

Найдем $a,$ при котором прямая $y = x +a$ находится в положении $III.$ В этом случае она проходит через точку $(0;0),$ то есть $a = 0.$

В этом случае $a< 0.$ Пусть $Q$ — центр окружности $s,$ $P$ — точка касания, $C$ — точка пересечения $y$ с осью ординат. Тогда $△ QP C$ — прямоугольный.

Ранее мы говорили, что прямая $y = x+ a$ наклонена к положительному направлению оси $Ox$ под углом $45∘,$ откуда будет следовать, что и $∠QCP = 45∘.$ Радиус $QP = 2,$ отрезок $OC = − a,$ так как $a< 0,$ $QO = 2.$ Следовательно,

Таким образом, объединяя все случаи, получаем