Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Области» №1

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ (2x2 − 4x + 3y2 + 6y + 5)(8 − |2x + y|) ≤ 0 2 2 x − 4x + y = a

имеет единственное решение.

1) Преобразуем неравенство системы:

$(2x2 − 4x + 2 + 3y2 + 6y + 3 − 2 − 3 + 5)(8 − |2x + y|) ≤ 0 ⇔$

$2 2 ⇔ (2(x − 1) + 3(y + 1) )(8 − |2x + y|) ≤ 0 ⇔$

$⌊ { 2(x − 1)2 + 3(y + 1)2 ≤ 0 || 8 − |2x + y| ≥ 0 || ⇔ | { |⌈ 2(x − 1)2 + 3(y + 1)2 ≥ 0 8 − |2x + y| ≤ 0$

Т.к. сумма квадратов всегда неотрицательна, то данная совокупность равносильна:

⌊ ( ⌊ { |{ x = 1 2 (x − 1)2 + 3(y + 1)2 = 0 | ⌊ { || |2x + y| ≤ 8 || | y = − 1 x = 1 || || ( |2 ⋅ 1 + 1| ≤ 8 || y = − 1 | { ⇔ | ⇔ |⌈ |⌈ 2 (x − 1)2 + 3(y + 1)2 ≥ 0 || { ⌈ x,y ∈ ℝ |2x + y| ≥ 8 |2x + y| ≥ 8 |2x + y | ≥ 8

Т.к. $|2x + y| ≥ 8$ равносильно $2x + y ≥ 8$ или $2x + y ≤ − 8$ , то данная совокупность задает область, состоящую из части плоскости, находящейся не ниже прямой $y = − 2x + 8$ , из части плоскости, находящейся не выше прямой $y = − 2x − 8$ , а также из точки $(1;− 1 )$ :

$PIC$

2) Преобразуем уравнение системы:

x2 − 4x + y2 = a ⇔ x2 − 4x + 4 + y2 = a + 4 ⇔ (x − 2)2 + y2 = a + 4

Данное уравнение при $a + 4 > 0 » class=»math» width=»auto»> задает окружность с центром в точке <img decoding=$ и радиусом $√ ------ R = a + 4$ ; при $a + 4 = 0$ задает точку $(2;0)$ ; при $a + 4 < 0$ – пустое множество.

Т.к. точка $(2;0)$ не попадает в область, заданную неравенством, то при $a + 4 ≤ 0$ система точно не будет иметь решений.

3) Рассмотрим случай $a + 4 > 0 » class=»math» width=»auto»>.<br class=$
$PIC$

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев:

(1) Если окружность коснется границы области $y = − 2x + 8$ .
Пусть $P$ – точка касания (то есть $OP ⊥ y = − 2x + 8$ ). Рассмотрим прямоугольный $△OP Q$ , где $Q = (4;0)$ – точка пересечения прямой $y = − 2x + 8$ с осью абсцисс.

Т.к. угловой коэффициент прямой $y = − 2x + 8$ равен $− 2$ , то $tg ∠P QX = − 2$ , следовательно, $tg∠P QO = 2$ . Тогда

2 OP 2 2 4 sin∠P QO = √--- ⇒ ---- = √--- ⇒ OP = OQ ⋅√---= √--. 5 OQ 5 5 5

Т.к. $OP$ и есть радиус окружности, то

4 √ ------ 4 √---= a + 4 ⇒ a = − -. 5 5

(2) Если окружность проходит через точку $(1;− 1)$ .
Это значит, что расстояние между точками $O$ и $(1;− 1)$ равно радиусу окружности, следовательно,

√ ------ ∘ ------------------- a + 4 = (2 − 1)2 + (0 + 1 )2 ⇔ a = − 2.