Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №8

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

2 |x − 1|+a = ax− 1

имеет единственное решение.

Преобразуем исходное уравнение:

2 |x − 1|= a(x− 1)− 1

Правая часть задает пучок прямых через точку $(1;−1).$ Графиком функции $2 f(x) =|x − 1|$ является парабола $2 x − 1,$ часть которой, лежащая ниже оси $Ox,$ отражена в верхнюю полуплоскость. Построим графики.

$PIC$

На картинке отмечены три ключевых положения прямых.

В положении $I$ прямая пучка будет иметь единственное пересечение с графиком $f(x)$ в точке $(−1;0).$ Это положение нам подходит. Подставим точку $(−1;0)$ в уравнение прямой пучка, чтобы найти соответствующее значение $a :$
$a(−1 − 1)− 1 =0 ⇔ a= − 1 2$
В положении $II$ имеем вертикальную прямую, которая не входит в пучок.
Любая прямая между положениями $I$ и $II$ будет иметь ровно две точки пересечения с графиком $f(x).$ Первая — пересечение с отраженным кусочком параболы, вторая — с левой веткой параболы. Эта точка пересечения будет существовать, так как квадратичная функция растет быстрее, чем линейная. Эти случаи нам не подходят.

$PIC$
В положении $III$ прямая пучка касается правой ветки параболы, то есть имеет с ней единственную точку пересечения. Найдем эту точку касания и значение $a,$ которое соответствует касательной.

Обозначим через $t$ координату по оси абсцисс искомой точки касания. Тогда должны выполняться два условия. Во-первых, точка $(t;f(t))$ должна принадлежать прямой $y =a(x− 1)− 1.$ Во-вторых, производная функции $g(x)= x2− 1,$ задающей на промежутке $[1;+∞ )$ правую ветку параболы, должна быть равна $a$ в точке $t,$ так как это и есть наклон нашей касательной. Запишем эти условия с учетом 0: » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5355-28.svg» width=»auto»>

$({ ({ 2 f(t)= a(t− 1)− 1 ⇔ |t − 1|= a(t− 1)− 1 ⇔ (g′(t)= a ( 2t =a ( ( ( ⇔ { t2− 1= 2t(t− 1)− 1 ⇔ {− t2+ 2t= 0 ⇔ { t= 0;2 ( 2t= a (2t= a ( 2t= a$

Условию $t >1 » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-5355-30.svg» width=»auto»> удовлетворяет только <img decoding=$ следовательно, $a =4.$

$PIC$
Между положениями $II$ и $III$ прямая пучка будет иметь два пересечения с правой веткой параболы, поскольку квадратичная функция растет быстрее, чем линейная, значит, такие положения нас не интересуют.
Во всех оставшихся положениях точек пересечения не будет вовсе.

Резюмируя, получаем, что уравнение будет иметь единственное решение при

{ } a ∈ − 1 ;4 2