Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №7

Найдите все возможные значения параметров $a$ и $b$ , при которых уравнение

x2 − 8x + a = b|x − 2|

имеет ровно три различных корня, причем сумма каких-то двух из них равна нулю.

Перепишем уравнение в виде

x2 − 8x = b|x − 2| − a

и рассмотрим функцию $2 g = x − 8x$ и $y = b|x − 2| − a$ . Графиком функции $g$ является парабола, ветви которой направлены вверх, а пересекает ось абсцисс она в точках $x = 0$ и $x = 8$ . Графиком $y$ при каждом фиксированном $b$ и $a$ является уголок, вершина $(2;y0)$ которого находится на прямой $x = 2$ .
Точка, в которой парабола пересекает $x = 2$ , имеет координаты $A (2;− 12)$ .
Заметим, что если вершина уголка находится выше этой точки (то есть $y0 > − 12 » class=»math» width=»auto»>), то <img decoding=$ с $g$ не будут иметь 3 точки пересечения.

1) Рассмотрим случай, когда $y0 = − 12$ . Тогда $a = 12$ .

$PIC$

Заметим, что если ветви уголка направлены вниз (то есть $b < 0$ ), а также при $b = 0$ , $y$ не будет пересекать $g$ в трех точках.
Рассмотрим случай $b > 0 » class=»math» width=»auto»>. Тогда мы имеем еще две точки пересечения <img decoding=$ с $g$ : точки $B$ и $C$ .
Так как точка $A ′$ находится левее $x = 4$ (абсцисса вершины параболы), то $A ′B ′ < A′C ′$ . Следовательно, и $OB ′ < OC ′$ . Значит, не может быть $x + x = 0 1 2$ , следовательно, только $x + 2 = 0 1$ , откуда $x1 = − 2$ . Следовательно, $g(x1) = y(x1)$ , то есть

2 (− 2) − 8 ⋅ (− 2) = b| − 2 − 2| − 12 ⇒ b = 8.

Таким образом, получили первое решение $a = 12;b = 8.$

2) Рассмотрим случай, когда $y0 < − 12$ , то есть $a > 12 » class=»math» width=»auto»>.<br class=$ Заметим также, что если $b ≤ 0$ , то $y$ не будет иметь 3 точки пересечения с $g$ . Следовательно, рассматриваем только случай, когда ветви уголка направлены вверх.
$y$ будет иметь 3 точки пересечения с $g$ в одном из двух случаев:
— когда левая ветка уголка касается параболы, а правая пересекает в двух точках (см. второй рисунок);
— когда левая ветка уголка пересекает параболу в двух точках, а правая касается.

a) Рассмотрим первый случай.

$PIC$

Левая ветка уголка задается уравнением $yl = b(2 − x) − a$ , $x < 2$ . Следовательно, условие касания:

{ ′ { − b = g (x1 ) = 2x1 − 8 ⇔ − b = 2x1 − 8 g(x1) = x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a = yl(x1) x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a

Правая ветка ( $yp = b(x − 2) − a$ , $x > 2 » class=»math» width=»auto»>) должна пересекать параболу в точке, абсцисса которой равна <img decoding=$ или $C$ ). Это задается условием:

yp(− x1) = b(− x1 − 2) − a = (− x1)2 − 8 ⋅ (− x1) = g(− x1)

Решаем систему из трех уравнений

( ( |{ − b = 2x1 − 8 |{ b = 16 x21 − 8x1 = b(2 − x1) − a ⇔ a = 48 |( 2 |( b(− x1 − 2) − a = x 1 + 8 ⋅ x1 x1 = − 4

Проверим эти значения (нам нужно проверить, что правая ветка уголка будет именно в двух точках пересекать параболу).
$2 16(x − 2 ) − 48 = x − 8x ⇒ x3 = 4$ и $x2 = 20$ .
Таким образом, получен еще один ответ $a = 48$ , $b = 16$ .

b) Рассмотрим второй случай.

$PIC$

Аналогично получаем систему:

( ( |{ b = 2x3 − 8 |{ b = − 16 x2− 8x = b(x − 2) − a ⇔ a = 48 |( 3 3 3 2 |( b(2 + x3 ) − a = x 3 + 8 ⋅ x3 x3 = − 4

Что невозможно, исходя из рисунка ( $x3 > 2 » class=»math» width=»auto»>). </div> </p> </div> </article> <div class=$ Графика. Нахождение касательной к графику