Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №6

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых неравенство

x2 + 2|x − a| − 4x ≤ − a

имеет единственное целочисленное решение. Для найденных значений $a$ выпишите это решение.

Перепишем неравенство в виде:

2|x − a| + a ≤ − x2 + 4x

Пусть $f (x) = 2|x − a| + a$ , $g(x ) = − x2 + 4x$ – функции. Тогда по условию задачи необходимо, чтобы промежуток, для которого график $f$ лежит не выше графика $g$ , содержал ровно одну целую точку.

Заметим, что графиком функции $f$ является уголок, вершина которого скользит по прямой $y = x$ . Правая ветвь уголка задается уравнением $f1 (x ) = 2(x − a) + a = 2x − a$ при $x ≥ a$ ; левая ветвь — $f2(x) = − 2(x − a) + a = − 2x + 3a$ при $x < a$ .

$PIC$

1) Найдем значение параметра, при котором правая ветвь уголка касается параболы (т.к. если уголок находится левее этого положения, то неравенство не имеет решений).
$g′ = − 2x + 4$ . Если $f1$ касается $g$ в точке $x0$ , то $g′(x0 )$ равно коэффициенту при $x$ в уравнении $f1$ , то есть:

− 2x0 + 4 = 2 ⇒ x0 = 1

Т.к. $f1$ касается $g$ , то $f1(x0) = g(x0)$ , откуда находим значение параметра $a = − 1$ .

Таким образом, при $a = − 1$ правая ветвь $f1$ касается параболы:

$PIC$

Заметим, что при $a = − 1$ существует ровно одно решение для неравенства, и это $x = 1$ , что является целочисленным значением. Следовательно, $a = − 1$ нам подходит.

2) Заметим, что при $a = 0$ вершина уголка находится в точке $(0;0)$ и уголок имеет две точки пересечения с параболой: $x = 0$ и $x = 2$ . Следовательно, решением неравенства является отрезок $[0;2]$ (т.к. на этом отрезке уголок находится не выше параболы), содержащий три целых точки ( $0,1$ и $2$ ). А вот при $a < 0$ (но $a ≥ − 1$ ) левая ветвь уголка не пересекает параболу, а правая ветвь пересекает параболу в двух точках, причем одна находится между $0$ и $1$ , а вторая между $1$ и $2$ . То есть в промежуток, удовлетворяющий неравенству, будет входить ровно одна целая точка $x = 1$ . Следовательно, все $− 1 ≤ a < 0$ нам подходят.

$PIC$

3) Заметим, что если вершина уголка находится в точке $(3; 3)$ (то есть $a = 3$ ), то левая ветвь уголка касается параболы (в этой точке). Действительно, это можно проверить, поступив так же, как мы поступили в первом пункте: $′ g = − 2x + 4$ . Если $f2$ касается $g$ в точке $x0$ , то $′ g (x0)$ равно коэффициенту при $x$ в уравнении $f2$ , то есть:

− 2x0 + 4 = − 2 ⇒ x0 = 3

Следовательно, при $a = 3$ решением неравенства является единственная точка $a = 3$ , которая является целой, то есть $a = 3$ нам подходит.

Заметим также, что при $a > 3 » class=»math» width=»auto»> уголок будет находится всегда выше параболы, то есть неравенство не будет иметь решений. </p> <p class=$

4) Рассмотрим ситуацию, когда $0 < a < 3$ . При этих $a$ правая ветвь уголка пересекает параболу в точке $x ∈ (2;3)$ , а вот левая ветвь пересекает параболу в какой-то точке $x ∈ (0;3)$ . Следовательно, чтобы неравенство имело единственное целочисленное решение, этим решением должно быть $x = 2$ и точка $x′$ , в которой левая ветвь пересекает параболу, должна удовлетворять: $1 < x′ ≤ 2$ (оранжевый уголок).

$PIC$

Поэтому найдем значение $a$ , при котором левая ветвь уголка пересекает параболу в точке $x = 1$ :

5- f2(1) = g(1) ⇒ − 2 + 3a = − 1 + 4 ⇒ a = 3

Теперь найдем значение $a$ , при котором левая ветвь уголка пересекает параболу в точке $x = 2$ :

8 f2(2) = g(2) ⇒ − 4 + 3a = − 4 + 8 ⇒ a = -- 3

То есть при $a = 5 3$ решением неравенства является отрезок $[1;2,...]$ , содержащий 2 целые точки ( $x = 1; 2$ ); при $8 a = 3$ решением неравенства является отрезок $[2;2,...]$ , содержащий одну целую точку ( $x = 2$ ).

Следовательно, при $52 < a ≤ 83$ решением будет отрезок $[1,...;2,...]$ , который содержит одну целую точку $x = 2$ . Такие значения $a$ нам подходят.

Таким образом, итоговый ответ:
при $− 1 ≤ a < 0$ целочисленное решение $x = 1$ ;
при $53 < a ≤ 83$ целочисленное решение $x = 2$ ;
при $a = 3$ целочисленное решение $x = 3$ .