Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых графики уравнений

2 y = x + 2x− 3 и ay+ 5x+ 6a= 0

имеют ровно одну общую точку.

Графиком уравнения $y = x2 +2x − 3$ является парабола, пересекающая ось $Ox$ в точках $(−3;0)$ и $(1;0),$ а ось $Oy$ в точке $(0;−3).$

Графиком уравнения $ay+ 5x+ 6a= 0$ при каждом фиксированном $a$ является прямая.

1) При $a= 0$ это прямая $x = 0,$ имеющая ровно одну точку пересечения с параболой, а именно точку $(0;−3).$ Этот случай нам подходит.

2) При $a⁄= 0$ это пучок прямых $y = − 5x − 6, a$ проходящих через точку $(0;−6).$

$PIC$

Графики имеют ровно одну общую точку при тех значениях $a,$ при которых прямая $y = − 5x− 6 a$ касается параболы. Запишем условие касания параболы и прямой пучка:

( 2 ′ 5 ( 5 {(x + 2x− 3) =− a ⇒ {x = −2a − 1 ⇒ a= 5(1± √3) (x2 +2x − 3 = − 5x − 6 (8a2− 20a− 25= 0 4 a

Графика. Нахождение касательной к графику