Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких значениях $a$ уравнение

2 |x − 2x− 3|− 2a = |x − a|

имеет ровно 2 корня?

Рассмотрим функции $f(x)= |x2− 2x − 3|$ и $g(x)= |x − a|+ 2a$ . Тогда уравнение примет вид:

f(x) =g(x)

Следовательно, нужно найти значения параметра, при которых графики функций $f$ и $g$ будут иметь ровно 2 точки пересечения.

1) Заметим, что графиком $g$ при каждом фиксированном $a$ является уголок, вершина которого находится на прямой $y = 2x$ .
Найдем $a$ , при котором левая ветка уголка будет касаться графика $f$ в точке $A$ . Тогда при всех $a$ , больших найденного значения, графики будут иметь ровно 2 точки пересечения.

$PIC$

Левая ветка уголка задается уравнением $yl = −x +a + 2a = −x+ 3a$ , $x ≤ a$ . Касаться она будет графика функции $f1 = −x2+ 2x+ 3$ .
$f′1 = − 2x + 2$ . Если $A (x0;y0)$ – точка касания, то

{ (|{ 3 − 2x0+ 2= −1 ⇔ x0 = 2 y0 = − x20+ 2x0+3 |(y0 = 15 4

Так как $A ∈ yl$ , то отсюда можно найти $a$ :

15 = − 3 + 3a ⇔ a= 7 4 2 4

Следовательно, $( ) a∈ 74;+∞$ пойдет в ответ.

2) Найдем значения $a$ , когда $g$ проходит через точку $B(−1;0)$ (положение $I$ ) и через точку $C (3;0)$ (положение $II$ ).

$PIC$

Заметим, что если $g$ находится между положениями $I$ и $II$ , то она имеет с $f$ также ровно 2 точки пересечения.
Для положения $I$ (левая ветка уголка проходит через $B$ ):