Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Найдите все возможные значения параметра $a$ , при каждом из которых уравнение

1x3 + 2x2 − 88-= a(x + 8) 3 3

имеет ровно одно решение.

Рассмотрим функцию $1 88 f(x) = --x3 + 2x2 − --- 3 3$ и пучок прямых $y = a(x + 8)$ .

$′ 2 f(x ) = x + 4x ⇒ x = − 4 = xmax$ – точка максимума, $x = 0 = xmin$ – точка минимума.

$56 88 f(xmax) = − ---, f (xmin ) = − --- 3 3$ .

Все прямые $y = ax + 8a$ проходят через точку $(− 8;0)$ .

Найдем случаи, когда прямая $y$ касается графика функции $f (x)$ ( $xo$ – точка касания). Найдем соответствующие этому значения параметра:

{ ⌊ x = − 2 { { { | o f′(xo ) = a x2o + 4xo = a x2o + 4xo = a || a = − 4 ⇒ 3 2 ⇒ 2 ⇒ | { f(xo) = y(xo) 2xo + 30xo + 96xo + 88 = 0 (xo + 2) (xo + 11) = 0 ⌈ xo = − 11 a = 77

Таким образом, уравнение $f(x) = y$ будет иметь единственное значение при тех значениях $a$ , при которых прямые $y$ будут располагаться в закрашенных областях: (причем граничный случай $a = 77$ не подходит)

$PIC$

В уменьшенном масштабе это выглядит так:

$PIC$

Следовательно, $a ∈ (− ∞; 77)$ .

Графика. Нахождение касательной к графику