Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Нахождение касательной к графику» №1

Пусть . Рассмотрим несколько случаев:

1) . Тогда уравнение имеет единственное решение .

2) . Т.к. . Следовательно, функция монотонно возрастает на всем . Значит, имеет не более одной точки пересечения с осью .

Заметим, что есть точка , в которой . Значит, и есть единственное решение данного уравнения.
 

3) . Обозначим  

Рассмотрим уравнение в виде . Обозначим . Найдем положительные значения , при которых функции и имеют ровно одну точку пересечения.

Найдем значения , при которых касается :

. Пусть – точка касания. Тогда:

Значит, при функции и имеют 2 точки пересечения, а при функции и имеют ровно одну точку пересечения (например, прямая, обозначенная пунктиром).
 

 

Тогда .

Значит, уравнение будет иметь единственный корень при .