Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Функции с модулем: корыто и другие» №2

Просмотров 6 Комментарии 0

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|2x − 2|+ |x − 3|= ax − 3a

имеет ровно одно решение?

Обозначим $f(x) = |2x− 2|+ |x− 3|, g(x)= ax− 3a.$

Возможны три случая раскрытия модулей в левой части, поскольку первый модуль меняет знак в точке $x= 1,$ второй — в точке $x = 3:$

1.: $x∈ (− ∞;1) ⇒ f(x)= −(2x− 2)− (x − 3)= −3x+ 5$
2.: $x∈ [1;3] ⇒ f(x)= (2x− 2)− (x − 3)= x+ 1$
3.: $x∈ (3;+ ∞) ⇒ f(x)= (2x− 2)+(x − 3)= 3x− 5$

Резюмируя, получим

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на наклонной прямой Правая часть задает пучок прямых, проходящих через точку так как независимо от выбора При этом как обычно вертикальная прямая не входит в пучок. В положении прямая пучка проходит через левый угол корыта — точку В положении прямая пучка параллельна левой ветке корыта а значит, их угловые коэффициенты равны В положении прямая пучка параллельна правой ветке корыта а значит, их угловые коэффициенты равны Видим, что прямая пучка имеет ровно одно пересечение с корытом в положении а также между положениями и включая и не включая за исключением вертикальной прямой. Переходя к угловым коэффициентам, получаем

Графика. Функции с модулем: корыто и другие