Задача к ЕГЭ на тему «Графика. Базовые задачи» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 2 |− 2x + a|= 2

имеет ровно два решения?

Обозначим $2 2 f(x) =|− 2x + a |.$ График $f$ — это сдвинутая на $2 a$ вверх парабола $2 y = −2x$ с ветвями вниз. При этом часть параболы, лежащая ниже оси $Ox,$ отражена в верхнюю полуплоскость.

$PIC$

Заметим, что вершина нашей параболы всегда имеет неотрицательную координату $2 a$ по оси $Oy,$ а значит, не будет отражена.

При условии, что вершина лежит ниже прямой $y = 2,$ то есть $a2 < 2,$ график функции $f(x)$ будет иметь ровно две точки пересечения с прямой $y = 2$ — с ней пересечется каждая из отраженных ветвей. Если же $a2 ≥ 2,$ то точек пересечения будет три или четыре.

Тогда найдем подходящие значения параметра:

2 √- √- a < 2 ⇔ a ∈ (− 2; 2)